Question

Considere um ponto P do plano cartesiano, situado no 1° quadrante, pertencente à reta de equação y = 2x, e cuja distância à reta y = x é igual a .

A soma das coordenadas de P é:

Answer 1

A soma das coordenadas de P é 6.

Completando a questão: A distância à reta y = x é igual a √2.

Solução

De acordo com o enunciado, o ponto P pertence à reta y = 2x. Sendo assim, podemos dizer que P = (x,2x).

Considere que temos um ponto P = (x₀,y₀) e uma reta de equação ax + by = c. A distância entre o ponto e a reta pode ser calculada pela fórmula:

• $d=\frac{|a.x_0+b.y_0-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Temos a informação que a distância entre P = (x,2x) e a reta x - y = 0 é igual a √2. Utilizando a fórmula da distância citada acima, obtemos:

$\sqrt{2}=\frac{|1.x+(-1).2x|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

√2.√2 = |x - 2x|

2 = |-x|.

Existem duas condições: -x = 2 ou -x = -2.

Da primeira condição, x = -2.

Da segunda condição, x = 2.

Se x = -2, então o ponto P é igual a P = (-2,-4).

Se x = 2, então o ponto P é igual a P = (2,4).

Como P pertence ao primeiro quadrante, então suas coordenadas são positivas. Portanto, P = (2,4) e a soma das coordenadas é igual a 2 + 4 = 6.