CONSIDERE um POLIEDRO convexo contendo 20 arestas e que todas as suas faces ou quadrangulares ou são PENTAGONAIS. Se a soma dos ângulos das faces é 3960, QUANTAS FACES SÃO quadrangular e quantas faces são PENTAGONAIS ?
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Existem 5 faces quadrangulares e 4 faces pentagonais.
Vamos considerar que:
- F4 = quantidade de faces quadrangulares
- F5 = quantidade de faces pentagonais.
Então, a quantidade de faces é igual a F = F4 + F5.
Se o poliedro possui 20 arestas, então:
2.20 = 4.F4 + 5.F5
40 = 4.F4 + 5.F5.
Além disso, temos a informação de que a soma dos ângulos das faces é 3960º.
A soma dos ângulos das faces do poliedro é definida por S = (V - 2).360.
Portanto, a quantidade de vértices é igual a:
3960 = (V - 2).360
11 = V - 2
V = 13.
A relação de Euler nos diz que V + F = A + 2.
Dito isso:
13 + F4 + F5 = 20 + 2
F4 + F5 = 9
F4 = 9 - F5.
Substituindo o F4 em 40 = 4.F4 + 5.F5:
40 = 4.(9 - F5) + 5.F5
40 = 36 - 4.F5 + 5.F5
F5 = 4.
Logo, o valor de F4 é:
F4 = 9 - 4
F4 = 5.
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