Question

Considere um plano π que passa pelos pontos A=(1,1,1),B=(2,1,−1) e C=(3,−1,1). Se D=(−1,2,3), quais são as coordenadas do(s) ponto(s) E de forma que DE seja perpendicular a π e ∥DE∥=6?

Answer 1

Olá.

A resposta é E=(3,6,5) ou E=(-5,-2,1).

Vejamos como foi encontrado esse resultado:

Já que o plano π passa pelos pontos $A=(1,1,1),B=(2,1,-1)$ e $C=(3,-1,1)$, podemos traçar vetores que estejam contidos no plano, com o intuito de achar um vetor perpendicular ao plano. Assim:

Geramos os vetores $\hat{AB}$ e $\hat{AC}$:

$\hat{AB}=B-A=(2,1,-1)-(1,1,1)=(1,0,-2)$

$\hat{AC}=C-A=(3,-1,1)-(1,1,1)=(2,-2,0)$

Com esses dados, podemos gerar o vetor normal do plano, mediante o produto vetorial de ambos os vetores gerados.

                                                 $\left[\begin{array}{ccc} \hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\1&0&-2\\2&-2&0\end{array}\right]$

Calculando o determinante da matriz:

      $det=\hat{i} [(0)(0)-(-2)(-2)] - \hat{j} [(1)(0)-(-2)(2)] + \hat{k} [(1)(-2)-(0)(2)]\\det=-4\hat{i} -4\hat{j}-2\hat{k}$

Agora precisamos de encontrar o ponto E, para isso, vamos gerar o vetor $\hat{DE}$ e por ele ter que ser perpendicular ao plano, ele será paralelo ao vetor normal. Antes disso, definimos o ponto E como sendo $E=(a,b,c)$.

             $\hat{DE}=E-D=(a,b,c)-(-1,2,3)=(a+1,b-2,c-3)$

A continuação, nosso vetor deve ter tamanho/norma igual a 6. Olhando para o vetor normal, temos que o tamanho dele é $\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(-2)^2} = 6$. Consequentemente, basta só substituir os valores do vetor $\hat{DE}$ no vetor normal.

Fazendo uma aclaração: o sentido e o tamanho do vetor podem mudar, mas a direção deve continuar sendo perpendicular ao plano, isso significa que temos infinitos vetores normais, mas só dois com tamanho igual a 6, os quais são: (4,4,2) e (-4,-4,-2).

Calculamos o valor do ponto E a partir da comparação do vetor $\hat{DE}$ com os dois vetores normais citados no parágrafo anterior. Assim:

$(a+1,b-2,c-3)=(4,4,2)$, onde a=3, b=6 e c=5.

$(a+1,b-2,c-3)=(-4,-4,-2)$, onde a=-5, b=-2 e c=1.

Portanto, as coordenadas do ponto E serão:

(3,6,5) ou (-5,-2,1).

Bons estudos!