Question

Considere um pêndulo simples de comprimento L e massa m abandonado da horizontal. Então, para que n˜ao arrebente, o fio do pêndulo deve ter uma resistência a tração pelo menos igual a:

A ( ) mg.
B ( ) 2mg.
C ( ) 3mg.
D ( ) 4mg.
E ( ) 5mg

Gabarito: C

Cálculo e explicação.

Answer 1

Olá,

Veja a figura anexada à solução que representa um momento genérico após o pêndulo ser abandonado.

Considere que P é o peso do pêndulo, v é a sua velocidade e T é a tração no fio. Note que θ é a inclinação do fio em relação à vertical. Ainda, considere que h é a altura que o pêndulo desceu no momento destacado.

Veja que θ também é igual à inclinação do peso em relação ao prolongamento do fio, já que P atua na vertical.

Como o movimento executado pelo pêndulo é circular, a velocidade é perpendicular ao raio da circunferência que ele prescreve. Nesse tipo de movimento, podemos relacionar o módulo da velocidade à intensidade da força centrípeta (Fcp). Essa força será de direção central, perpendicular à velocidade. Assim, é coincidente com o fio do pêndulo. Podemos escrever:

$F_{cp}=T-P\cos(\theta)\\\\ T = F_{cp} + P\cos(\theta)$

Podemos usar a conhecida relação $F_{cp}=\dfrac{mv^2}{r}$ acima, onde r é o raio da circunferência descrita no movimento. No caso, vê-se que r = L. Além disso, $P = mg$. Logo:

$T = \dfrac{mv^2}{L} + mg\cos(\theta)~~~(i)$

Agora vamos tentar encontrar alguma relação para v. Podemos igualar a energia mecânica no estado inicial ao estado da figura. Considere que o nível de referência para a energia potencial gravitacional é aquele no qual o pêndulo se encontra. Assim, no instante ilustrado, a energia potencial gravitacional é nula. Desenvolvendo:

$E_{inicial} = E_{final}\\\\ \underbrace{E_{c,inicial}}_{0}+E_{p_g,inicial} = E_{c,final}+\underbrace{E_{p_g,final}}_{0}\\\\ mgh = \dfrac{mv^2}{2}\\\\ v^2 = 2gh~~~(ii)$

Utilizamos que a energia cinética inicial era nula, já que o corpo foi abandonado e, portanto, sua velocidade era nula. Substituindo (ii) em (i):

$T = \dfrac{mv^2}{L} + mg\cos(\theta)\\\\ T = \dfrac{m\cdot 2gh}{L} + mg\cos(\theta)\\\\ T = 2mg\cdot\dfrac{h}{L} + mg\cos(\theta)$

Pela figura, $h = L\cos(\theta)$. Então:

$T = 2mg\cdot\dfrac{L\cos(\theta)}{L} + mg\cos(\theta)\\\\ T = 2mg\cos(\theta) + mg\cos(\theta)\\\\ T = 3mg\cos(\theta)$

Estamos quase lá. Como queremos a resistência mínima que a corda deve ter, devemos encontrar a tração máxima que ela deve suportar para não se romper. Para isso, basta que façamos T(θ) assumir seu valor máximo, o que ocorrerá quando cos(θ) for máximo. Sabemos que esse valor superior para o cosseno é 1. Desse modo:

$T_{m\'ax}=3mg\cdot1\\\\ \boxed{T_{m\'ax}=3mg}\Longrightarrow \text{Letra }\bold{C}$

O fio deve ter uma resistência pelo menos igual a T = 3mg, valor que é apresentado na Letra C.