Question

Considere um espelho esférico côncavo de raio de curvatura igual a 120 cm. Determine a posição, o tamanho e a natureza da imagem que este espelho fornece de um objeto retilíneo, de 12,0 cm de altura, colocado perpendicularmente ao eixo principal, à seguinte distância do espelho:

a) 240 cm;
b) 120 cm;
c) 40 cm
d) 40 cm (considerando agora o objeto como sendo virtual)

Answer 1

A imagem que este espelho fornece à distância de 240 cm é:  real, invertida de 0,230 m de altura e a 1,25 m do espelho.

Do  enunciado sabemos:

• Espelho esférico côncavo
• Raio de curvatura (r) = 120 cm = 1,20 m
• Altura do Objeto (o) = 12 cm = 0,12 m
• Distância do espelho ao objeto (p) = 240 cm = 2,40 m

Primeiro determinamos a distância focal (f), lembrando que ela corresponde à  metade do raio de curvatura do espelho esférico:

$f = \frac{r}{2}\\\\f = \frac{1,20m}{2}\\\\\boxed{f = 0,60 \;m}$

Agora vamos determinar  a distância da imagem ao lente (p') usando a equação de Gauss para os espelhos esféricos:

                                      $\boxed{\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}} \rightarrow \; \boxed{F = \frac{p\;*\;p'}{p\;+\;p'} }$

Onde:

• f, distância focal
• p, distância do objeto ao lente
• p', distância da imagem ao lente

Substituimos os dados e isolamos p' :

$0,60 = \frac{2,4\;*\;p'}{2,4\;+\;p'}\\\\2,4p' = 1,44\;+\; 0,60p'\\\\2,4p' - 0,60p' = 1,44\\\\1,8p'= 1,44\\\\\boxed{p'= 1,25\;m}$

Agora calculamos o tamanho da imagem usando a equação de Gauss com a relação de aumento em módulo :

                                                   $\boxed{\frac{i}{o} = \frac{-p}{p'}}$

Onde:

• i = tamanho da imagem
• o = tamanho do objeto

Substituimos os dados e isolamos i :

$\frac{i}{0,12} =\frac{-2,40}{1,25}\\\\i * 1,25 = -2,40 * 0,12\\\\1,25i = -0,288\\\\i = \frac{-0,288x}{1,25}\\\\\boxed{i = -0,230\;m}$

Agora  lembramos as seguintes convenções para determinar posição e a natureza da imagem:

• Tipo de espelho: Côncavo

$f\left \{ {{>\;0\; espelho\;concavo} \atop {<\;0\;espelho\;convexo}} \right.$

• Posição da imagem é dada por p' que é igual a 1,25 m

• Natureza da imagem: Imagem Real

$p'\left \{ {{>\;0,\; imagem\;real} \atop {<\;0,\;imagem\;virtual}} \right.$

• Formação da imagem: Invertida

1. Direita, se o objeto e a imagem possuem o mesmo sentido;
2. Invertida, se os sentidos da imagem e do objeto são opostos.

Pd: para fazer com as demais distâncias so temos que substituir esse valor na fórmula, e no caso da D que objeto é virtual (está atrás do espelho) temos que a distância do objeto à lente é menor a zero (p < 0)