Question

Considere um cubo de aresta 2 e sua esfera inscrita. Uma esfera de raio é tangente a
essa esfera inscrita e também tangente a 3 faces adjacentes do cubo.
O valor de é:

Answer 1

O raio da esfera tangente inscrita e também tangente a 3 faces adjacentes do cubo é  2 - √3.

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A questão proposta é, inicialmente, difícil de visualizar. Com a ajuda do Geogebra, eu fiz a construção do problema. Veja em anexo.

Para encontrar o raio da esfera tangente observe que podemos usar semelhança de triângulos entre os triângulos destacados na figura. Chamei tal raio de r. O raio da esfera maior, por sua vez, é denotado por R.

Com isso, temos:

R/ (metade da diagonal do quadrado)  = r / (metade da diagonal do quadrado - (R + r))

Como o quadrado tem lado 2, sua diagonal vale 2√3. Ainda, é possível visualizar que R equivale a metade do lado do quadrado. Assim:

1/√3  = r/ (√3 - (1+r))

Isolando r:

1/√3  = r/ (√3 - (1+r))

√3r = √3 - (1+r)

√3r + r = √3 - 1

r (√3 + 1) = √3 - 1

r  = (√3 - 1)/(√3 + 1)

Racionalizando:

$r=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = 2-\sqrt{3}$

Logo, r = 2 - √3

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Até mais!