Question

Considere um cubo com medida de aresta a, inscrito em uma superfície
esférica de centro O e raio r, de maneira que O seja a intersecção das diagonais do cubo. Mostre que r = a√3/2

Answer 1

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⠀⠀☞ Temos que o raio da esfera equivale à metade da diagonal do cubo, ou seja, r = a√3/2. ✅

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⠀⠀Inicialmente devemos observar que os vértices deste cubo tocam a esfera pela parte interna da mesma, ou seja, temos que a diagonal deste cubo, sendo um segmento de reta que passa pelo centro do cubo (que é também o centro da esfera) e liga dois pontos da esfera, possui exatamente o mesmo comprimento do diâmetro desta esfera. Sabemos que o diâmetro equivale ao dobro do raio, ou seja, a metade da diagonal deste cubo é igual ao raio desta esfera.

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⠀⠀" -Mas quanto vale a diagonal deste cubo?"

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⠀⠀Se tomarmos uma das diagonais do cubo (D), uma das diagonais da face do cubo (d) e uma de suas arestas (a) teremos um triângulo retângulo em que a hipotenusa é a própria diagonal do cubo, ou seja:

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$\LARGE\blue{\sf D^2 = d^2 + a^2}$

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⠀⠀Temos que:

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$\LARGE\blue{\sf d^2 = a^2 + a^2}$

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$\LARGE\blue{\sf d^2 = 2a^2}$

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⠀⠀Ou seja:

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$\LARGE\blue{\sf D^2 = 2a^2 + a^2}$

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$\LARGE\blue{\sf D^2 = 3a^2}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{D^2} = \pm \sqrt{3a^2}}$

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⠀⠀Como o comprimento é sempre uma grandeza positiva então tomaremos somente a solução positiva desta raiz:

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$\LARGE\blue{\sf D = a \cdot \sqrt{3}}$

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⠀⠀Lembrando que r = D/2 então temos que:

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{r}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{a\sqrt{3}}{2} }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Veja outro exercício com um cubo inscrito em uma esfera:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/3471878

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$