Question

Considere um cone uma esfera de volumes iguais onde o raio da base e a geratriz do cone mede respectivamente 2 cm e √29 cm dessa maneira a área da superfície da esférica é:
a) π. ³√5 cm²
b) 4π. ³√5 cm²
c) 4π. ³√25 cm²
d) π . ³√25 cm²
e) 4π. ³√5 cm²

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Considere um cone uma esfera de volumes iguais

Vc = Volume do Cone

Ve = Volume da esfera

Ve = Vc

FÓRMULA

         4.π.R³

Ve = ------------

            3

          π.R².h

Vc = -------------

              3

onde o raio da base e a geratriz do cone mede respectivamente 2 cm e √29 cm

R = 2  ( Raio)

g = √29  ( geratriz)

h = altura ??? achar

TEOREMA de TIPAGORAS

h² + R² = g²

h²+ 2² = (√29)²    elimina a √(raiz quadrada) com o (²))

h² + 4   = 29

h²= 29 - 4

h² = 25

h = √25

h = 5 ( altura)

assim

      Ve  = Vc

4.π.R³         π.R².h

----------- = --------------  ( por os valores do CONE))

    3                3

4.π.R³          π.(2)².(5)

----------- = ----------------- ( podemos eliminar  AMBOS (3))

     3                3

4.π.R³ = π.(4)(5)

4.π.R³  = π.20

4.π.R³ = 20π

π.R³ = 20/4

π.R³ = 5  ====>(³) = (∛)

π.∛5   resposta

dessa maneira a área da superfície da esférica é:

a) π. ³√5 cm²  resposta

b) 4π. ³√5 cm²

c) 4π. ³√25 cm²

d) π . ³√25 cm²

e) 4π. ³√5 cm²

Answer 2

Resposta:

resposta:   letra C

Explicação passo a passo:

A área da superfície esférica pode ser calculada como:

1ª             $Ae = 4.\pi .R^{2}$

Se o volume do cone "Vc" é:

2ª            $Vc = \frac{1}{3}.\pi. r^{2}.h$

Se o volume da esfera "Ve" é:

3ª            $Ve = \frac{4}{3}.\pi .R^{3}$

Se o volumes do cone e da esfera são iguais, então:

4ª           $\frac{\pi .r^{2}.h }{3} = \frac{4.\pi .R^{3} }{3}$

NOTA:

               r = raio do cone

               R = raio da esfera

Simplificando a 4ª equação temos:

5ª             $r^{2} .h = 4.R^{3}$

Isolando "R" da 5ª equação, temos:

6ª              $R = \sqrt[3]{\frac{r^{2} .h}{4} }$

Se:

                    $r = 2cm\\g = \sqrt{29}cm$

Aplicando o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de "h", temos:

7ª                 $g^{2} = h^{2} + r^{2}$

Isolando "h" da 7ª equação, temos:

8ª                 $h = \sqrt{g^{2} - r^{2} }$

Substituindo a 8ª equação na 6ª equação, temos:

9ª              $R = \sqrt[3]{\frac{r^{2}.\sqrt{g^{2} - r^{2} } }{4} }$

Substituindo a 9ª equação na 1ª equação, temos:

10ª         $Ae = 4\pi (\sqrt[3]{\frac{r^{2}\sqrt{g^{2} - r^{2} } }{4} } )^{2}$

Agora podemos encontrar a área da superfície esférica. Para isso, basta substituir os valores de "r" e "g" na 10ª equação, ou seja:

$Ae = 4\pi (\sqrt[3]{\frac{2^{2}\sqrt{(\sqrt{29} )^{2} - 2^{2} } }{4} } )^{2} = 4\pi (\sqrt[3]{\frac{4\sqrt{29 - 4} }{4} } )^{2} = 4\pi (\sqrt[3]{\sqrt{25} } )^{2} = 4\pi (\sqrt[3]{5} )^{2}$

     $= 4\pi \sqrt[3]{5^{2} } = 4\pi \sqrt[3]{25}cm^{2}$

Portanto, a área da superfície esférica é:

                $Ae = 4\pi \sqrt[3]{25}cm^{2}$

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