Question

Considere um cone truncado de altura h, raio da base menor r e raio da base maior R. Mostre que seu volume é dado por V = 1 3 πR 2 h+ 1 3 πr 2 h+ 1 3 πRrh

Answer 1

Bom dia,

Para calcular o volume do cone truncado podemos calcular a diferença entre o cone maior de base R e o cone menor de base r.

Vamos chamar a altura do cone maior de "h+h' " e a altura do cone menor de "h' ".

A equação do volume de um cone é dado por:

$V= \frac{\pi*r^2*h}{3}$

Para o cone maior:

$V_C= \frac{\pi*R^2*(h+h')}{3}$

Para o cone menor:

$V_c= \frac{\pi*r^2*h'}{3}$

Agora fazendo a diferença entre os cones:

$V_C-V_c=V_{ct}=\frac{\pi*R^2*(h+h')}{3}-\frac{\pi*r^2*h'}{3}$

Temos um termo acima (h') criado para auxiliar, mas que deve desaparecer do resultado final.

Pela relação entre altura e base do cone, sabemos que:

$\frac{R}{(h+h')} = \frac{r}{h'} \\ \\ Rh'=r(h+h') \\ \\ Rh'-rh'=rh \\ \\ h'= \frac{rh}{(R-r)}$

Assim, trabalhando as equações e substituindo h':

$V_{ct}=\frac{\pi*R^2*h}{3}+\frac{\pi*R^2*h'}{3}-\frac{\pi*r^2*h'}{3} \\ \\ V_{ct}=\frac{\pi*R^2*h}{3}+\frac{\pi*(R^2-r^2)*h'}{3} \\ \\ V_{ct}=\frac{\pi*R^2*h}{3}+\frac{\pi*(R^2-r^2)*rh}{3*(R-r)}$

Podemos afirmar que:

$(R^2-r^2)=(R+r)*(R-r)$

Assim:

$V_{ct}=\frac{\pi*R^2*h}{3}+\frac{\pi*(R+r)*(R-r)*rh}{3*(R-r)} \\ \\ V_{ct}=\frac{\pi*R^2*h}{3}+\frac{\pi*(R+r)*rh}{3} \\ \\ V_{ct}=\frac{\pi*R^2*h}{3}+\frac{\pi*R*r*h}{3}+\frac{\pi*r^2*h}{3}$

Espero ter ajudado. Bons estudos!