Question

Considere um cone, com raio da base igual a r, em que a soma das medidas da geratriz e da altura é igual a 5r. Calcule o volume e a área total do cone.

Answer 1

O volume v do cone é dado por

$v = \frac{ \pi \: {r}^{2} \: h }{3} \: \: \: \: \: \: \: (1)$

Onde r é o raio da base e h a altura do cone. A geratriz g, o raio da base e a altura formam um triângulo retângulo. Onde a geratriz é a hipotenusa, portanto

$g^{2} = {r}^{2} + \: {h}^{2} \: \: \: \: \: \: (2)$

E a geratriz mais a altura é 5 vezes o raio, segundo o enunciado.

$g + h = 5r \: \: \: \: \: \: (3)$

Isolando g em (3) e substituindo em (2)

$(5r-h)^{2} = {r}^{2} + \: {h}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: (4)$

Portanto

$24 {r}^{2} - 5hr = 0$

As soluções para essa equação de segundo grau com a variável r são

$\\ h=24 r/5 \: \: \: \: (5)\\ h=0$

Como a altura não é zero, h=24*r/5. Substituindo isso na equação (1) finalmente temos

$v = \frac{ 24 \pi r^{3} }{15}$

A área total será dada por

$a = area_{lateral} + area_{base} = \pi \: r \: g + \pi r^2\: \: \: \: \: \: (6)$

Poderíamos encontrar g em termos de r a partir das equações (5) e (3), e substituir na equação (6) para obtermos a área em termos de r. No entanto, como temos 4 equações (1,2,3,6) e 5 variáveis (v,a,g,h,r) não poderemos encontrar o valor numérico delas. Mas podemos deixar tudo em termos de r ou h por exemplo.