Question

Considere um bloco cuja base ´e um quadrado de aresta R
√
π, e cuja altura
´e 2R. Nesse bloco est˜ao destacadas duas pirˆamides definidas por suas diagonais
(Figura 6 abaixo). Considere, tambem, uma esfera de raio R e que o bloco e a esfera
est˜ao apoiados em um plano α.

a) do sólido formado pela parte do bloco que n˜ao ´e ocupada pelas pirˆamides;
b) da esfera.
Verifique que os volumes dos dois sólidos são iguais e que qualquer plano paralelo a
α determina seções de áreas iguais nos dois sólidos.

Answer 1

Vemos por meio de analise geometrica que:

Volume: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Área: $A=\pi (R^2-(R-a)^2)$

Explicação:

Este é um exercício complicado, e exige muito visualização.

Encontrei a imagem na internet e estou colocando aqui para auxiliar.

Primeiramente vamos encontrar o volume do bloco:

$V=(R\sqrt{\pi})^2.2R$

$V=2\pi R^3$

Agora o volume de uma da pirâmides, que é área da base vezes altura, sobre 3:

$V=\frac{1}{3}(R\sqrt{\pi})^.R$

$V=\frac{1}{3}\pi R^3$

Como são duas pirâmides, o volume total das pirâmides , basta multiplicar por 2:

$V=\frac{2}{3}\pi R^3$

Agora se queremos saber o volume do espaço sem pirâmides, basta tirarmos do volume do bloco total, o volume das duas pirâmides juntas:

$V=2\pi R^3-\frac{2}{3}\pi R^3$

$V=\frac{6}{3}\pi R^3-\frac{2}{3}\pi R^3$

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Este é o volume da parte do bloco sem as pirâmides.

Agora o volume da esfera, é dado pela formula:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Que fica:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Que é igual ao volume do bloco sem pirâmides.

Agora para explicar o plano paralelo, anexei outra imagem, onde tem uma linha de corte na altura "a".

Assim a área cortada por "a" dentro do bloco sem pirâmide, seria a área da base menos a área da base da pirâmide menor que se encontra acima do plano de corte:

E note que o lado da base acima do corte é proporcional pelo teorema de tales ao lado original, assim:

$\frac{L}{R\sqrt{\pi}}=\frac{R-a}{R}$

$L=(R-a)\sqrt{\pi}$

Este é o lado da base da pirâmide acima do corte, então a área fica:

$A=\pi R^2-\pi (R-a)^2$

Agora a área de corte da esfera, vemos pelo desenho que fiz que o raio efectivo sobre o corte é de:

$r^2=R^2-(R-a)^2$

E como sabemos que área de circunferência é:

$A=\pi r^2$

Então:

$A=\pi r^2$

$A=\pi (R^2-(R-a)^2)$

E vemos assim que as duas áreas são iguais.