Question

considere U(x,y)=f(x-4y)+g(x+4y, em que a f e g são funções reais qualquer deriváveis até segunda ordem sendo U xx a 2º derivada de U em relação a x, e Uu diferente de zero para todo x e y, determine o valor de Uyy/Uxx

Answer 1

$u(x,y)=f(x-4y)+g(x+4y)$

$\xi=\xi(x,y)=x-4y\\ \eta=\eta(x,y)=x+4y\\ \\ u(\xi,\eta)=f(\xi)+g(\eta)\\ \\ u_x=u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x\\ u_x=f_\xi+g_\eta\\ u_{xx}=(f_\xi)_x+(g_\eta)_x$

$u_{xx}=f_{\xi\xi}\xi_x+g_{\eta\eta}\eta_x\\ \\ \boxed{u_{xx}=f_{\xi\xi}+g_{\eta\eta}}$

Por otra parte:

$u_y=u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y\\ u_y=-4u_\xi+4u_\eta\\ u_y=-4f_\xi+4g_\eta\\ u_{yy}=-4(f_\xi)_y+4(g_\eta)_y\\ u_{yy}=-4f_{\xi\xi}\xi_y+4g_{\eta\eta}\eta_y\\ u_{yy}=16f_{\xi\xi}+16g_{\eta\eta}\\ \\ \boxed{u_{yy}=16\left(f_{\xi\xi}+g_{\eta\eta}\right)}$

Por lo tanto
                  $\boxed{\boxed{\dfrac{u_{yy}}{u_{xx}}=16}}$