Question

Considere u e w dois vetores não nulos. Pede-se: (a) Determinar o escalar a tal que u - 2aw seja ortogonal a w. (b) Mostrar que (u+w) x (u-w) = 2w x u

Answer 1

Supondo-se os versores i^, j^ e k^, e w//i^.
w = (|w|;0;0)
u = (x;y;z)
u - 2aw = v

Se v é ortogonal a w, sua componente na direção i^ é 0.
Na direção i^:
x - 2a|w| = 0
a = $\displaystyle\frac{x}{2|w|}$

x equivale à projeção do vetor u na direção w, portanto é igual |u| vezes o cosseno do angulo formado entre esses dois vetores, utilizando produto escalar:
x = $\displaystyle\frac{uw}{|w|}$
Logo,

a = $\displaystyle\frac{2uw}{|w|^{2}}$

(u+w) x (u-w) = (u x u + w x u - u x w - w x w) = (w x u + w x u) = 2 (w x u)
Como a x b = |a| |b| sen θ
(w x u) = 2 |w| |u| sen α = 2w x u.

Answer 2

a)(u -2aw).w=0 => u.w -2 a|w|^2=0 => -2 a|w|^2= - u.w => a =u.w/2|w|^2
b)(u+w) x (u-w) =u x u+ ux(-w)+ w x u- w x(-w)=0+ ux(-w)+ w x u- 0,como 
u x(-w) =w xu
= w xu+ w x u = 2 w xu