Question

Considere tres pontos distintos A, B e C no plano cartesiano. Mostre que se suas coordenadas satisfazem a equação y = ax + b, entao esses pontos estão alinhados e, em seguida, conclua que o gráfico de uma função afim é sempre uma reta

Answer 1

Sejam as 3 coordenadas dos pontos iguais a:

$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$

Como elas satisfazem a equação

$y = ax + b$

Podemos escrever elas como:

$y_1 = x_1.a + b \\ \\ y_2 = x_2.a + b \\ \\ y_3 = x_3.a + b$

Vou usar a fórmula pra calcular a distância entre 2 pontos num plano cartesiano.

Distância entre o ponto A e o ponto B:

$d_{ab} = \sqrt{ \Delta x {}^{2} + \Delta y {}^{2} } \\ \\ d_{ab} = \sqrt{(x_2 - x_1) {}^{2} + (y_2 - y_1) {}^{2} }$

Substituindo os valores de y2 e y1

$d_{ab }= \sqrt{(x_2 - x_1) {}^{2} + (x_1.a + b - x_2.a - b) {}^{2} } \\ \\ d_{ab }= \sqrt{(x_2 - x_1) {}^{2} + a {}^{2} (x_2 - x_1) {}^{2} } \\ \\ d_{ab} = (x_2 - x_1) \sqrt{a {}^{2} + 1 }$

A distância entre b e c é:

$d_{bc} = (x_3 - x_2) \sqrt{a {}^{2} + 1 }$

Entre a e c:

$d_{ac} = (x_3 - x_1) \sqrt{a {}^{2} + 1}$

Somando dab com dbc

$d_{ab} + d_{bc} = (x_3 - x_1) \sqrt{a {}^{2} + 1} \\ \\ d_{ab} + d_{bc} = d_{ac}$

Isso mostra que eles estão alinhados, assim como qualquer 3 pontos. Provando que o gráfico de uma função afim é uma reta.