Question

Considere três números naturais e consecutivos. O produto dos dois maiores é igual a 10 vezes o menor mais 10 unidades. Calcule a soma desses três números consecutivos.

Answer 1

Ao escrever a equação associada ao problema descobrimos que os números consecutivos são 8, 9 e 10.

Temos 3 números naturais consecutivos.

Vamos chamar o primeiro de $n$, o segundo chamaremos de $(n+1)$ e o terceiro será chamado de $(n+2)$

Sabemos que o produto dos dois maiores é igual a 10 vezes o menor mais 10 unidades.

O produto dos dois maiores é $(n+1)(n+2)$

10 vezes o menor mais 10 unidades significa $10n+10$

Isto em equações fica:

$(n+1)(n+2)=10n+10$

O que vemos acima é uma equação quadrática.

Ao resolver esta equação, encontraremos o valor n que procuramos.

Expandindo a equação e passando tudo para o lado esquerdo, teremos:

$(n+1)(n+2)=10n+10\\\\n^2+3n+2-10n-10=0\\\\n^2-7n-8=0$

Podemos resolver por fatoração :

Uma função quadrática $x^2+bx+c$ pode ser escrito da forma $(x+k) (x+l)$ com $b=k+l$ e com $c=k\times l$

Da equação $n^2-7n-8=0$ vemos que $n^2-7n-8=(n+1)(n-8)$

Logo, a equação $(n+1)(n-8)=0$ é verdadeira apenas para $n=8$ ou $n=-1$

Como n é número natural (portanto não negativo), $n=8$ é o único valor possível.

Temos então que $9\times10=8\times10+10$

Portanto, os números consecutivos são 8, 9 e 10.