Question

Considere três circunferências
Γ
1
,
Γ
2
e
Γ
3
de centros
O
1
,
O
2
e
O
3
, respectivamente. As circunferência
Γ
1
e
Γ
2
se tangenciam externamente e tangenciam
Γ
3
internamente. O ponto
O
3
está sobre
Γ
2
. Sabe-se que a circunferência
Γ
1
possui raio
6
e a circunferência
Γ
2
possui raio
12
. A área do triângulo
O
1
O
2
O
3
pode ser escrita como
m
√
n
onde
m
e
n
são inteiros positivos e não existe um quadrado perfeito que divida
n
. Determine
m
+
n
.Considere três circunferências
Γ
1
,
Γ
2
e
Γ
3
de centros
O
1
,
O
2
e
O
3
, respectivamente. As circunferência
Γ
1
e
Γ
2
se tangenciam externamente e tangenciam
Γ
3
internamente. O ponto
O
3
está sobre
Γ
2
. Sabe-se que a circunferência
Γ
1
possui raio
6
e a circunferência
Γ
2
possui raio
12
. A área do triângulo
O
1
O
2
O
3
pode ser escrita como
m
√
n
onde
m
e
n
são inteiros positivos e não existe um quadrado perfeito que divida
n
. Determine
m
+
n
.

Answer 1

Pelas informações do enunciado, fazemos o desenho das três circunferências.

Como podemos ver, as circunferências Γ1 e Γ2 estão dentro da circunferência Γ3, pois tangenciam Γ3 internamente.

A distância entre os ponto O₁ e O₂ é a soma dos raios de Γ1 e Γ2.

Assim, 7 + 14 = 21.

Como essas circunferências se tangenciam externamente, e O₃ toca a circunferência Γ2, a distância de O₁ e O₃ também mede 21.

Logo, o triângulo formado será isósceles (conforme a figura).

A altura h dividirá a base em duas partes iguais. Assim, usando o teorema de Pitágoras, temos:

h² + 7² = 21²

h² + 49 = 441

h² = 441 - 49

h² = 392

h = √391

h = 14√2

A área do triângulo é:

A = b·h/2

A = 14·(14√2)/2

A = 7·14√2

A = 98√2

Portanto, m = 98 e n = √2.

A soma é:

m + n = 98 + √2