Question

Considere todos os segmentos cujas extremidades são vertices de um hexagono convexo. Escolhendo-se um deles ao caso, qual é a probabilidade de ele ser uma diagonal?

Answer 1

Por dois pontos podemos traçar um segmento de reta. Para encontrar o número total de segmentos de reta que é possível traçar usando os seis vértices do hexágono temos que usar a fórmula das combinações:

$C_{6,2}=\dfrac{6!}{4!*2!}=\dfrac{6*5*4!}{4!*2}\Rightarrow \boxed{C_{6,2}=15}$

Esse é o nosso espaço amostral, o conjunto com todos os segmentos de reta. Agora temos que calcular o número de diagonais de um hexágono, mas isso é simples:

$d=\dfrac{n(n-3)}{2}\Rightarrow d=\dfrac{6*(6-3)}{2}\Rightarrow \boxed{d=9}$

Agora que temos o espaço amostral e o número de casos favoráveis, que é o número de diagonais, podemos calcular a probabilidade pedida:

$P=\dfrac{d}{C_{6,2}}\Rightarrow P=\dfrac{9}{15}\\ \\ \boxed{\boxed{P=\frac{3}{5}=60\%}}$