Question

Considere todos os números z =x+iy que têm módulo √7/2 e estão na elipse x²+4y²= 4.
Então, o produto deles é igual a

A) 25/9

B) 49/16

C) 81/25

D) 25/7

E) 4

Me ajudem nessa questão! Com explicação!

Answer 1

No plano de Argand-Gauss, dado um número complexo

$z=x+iy~~~~~~(\text{com }x,\,y\in\mathbb{R})$

o módulo de $z$ é a distância do ponto $(x,\,y)$ até a origem:

$\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

(o ponto $(x,\,y)$ é chamado afixo do número complexo $z$ )

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De acordo com o enunciado, dado $z=x+iy$ qualquer cujo módulo é $\sqrt{\dfrac{7}{2}}\,,$ devemos ter

$\left|z\right|=\sqrt{\dfrac{7}{2}}\\\\\\ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\dfrac{7}{2}}\\\\\\ x^2+y^2=\dfrac{7}{2}~~~~~~\mathbf{(i)}$

( o afixo de $z$ está sobre a circunferência de centro na origem e raio $\sqrt{\dfrac{7}{2}}$ )

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Mas queremos que o afixo de $z$ também esteja sobre a elipse de equação

$x^2+4y^2=4~~~~~~\mathbf{(ii)}$

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Então, temos que resolver o sistema entre as equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}:$

$\left\{ \!\begin{array}{lc} x^2+y^2=\dfrac{7}{2}&~~~~~~\mathbf{(i)}\\\\ x^2+4y^2=4&~~~~~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Subtraindo as equações $\mathbf{(ii)}-\mathbf{(i)}$ membro a membro, obtemos

$x^2+4y^2-(x^2+y^2)=4-\dfrac{7}{2}\\\\\\ \diagup\!\!\!\!\! x^2+4y^2-\diagup\!\!\!\!\! x^2-y^2=\dfrac{8}{2}-\dfrac{7}{2}\\\\\\ 3y^2=\dfrac{1}{2}\\\\\\ y^2=\dfrac{1}{6}\\\\\\\boxed{\begin{array}{c} y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{array}}$


Substituindo na equação $\mathbf{(ii)}$ da elipse, temos

$x^2+4\cdot \dfrac{1}{6} =4\\\\\\ x^2+\dfrac{2}{3}=4\\\\ x^2=4-\dfrac{2}{3}\\\\\\x^2=\dfrac{12}{3}-\dfrac{2}{3}\\\\\\x^2=\dfrac{10}{3}\\\\\\\boxed{\begin{array}{c}x=\pm \sqrt{\dfrac{10}{3}} \end{array}}$

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Sendo assim, todos os números complexos que satisfazem as soluções encontradas são

$\left.\begin{array}{l} \bullet\;\;z_1=\sqrt{\dfrac{10}{3}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\\\ \bullet\;\;z_2=\sqrt{\dfrac{10}{3}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\right\}~~\Rightarrow~~z_2=z_1^{*}\\\\\\\\ \left.\begin{array}{l} \bullet\;\;z_3=-\,\sqrt{\dfrac{10}{3}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{6}}\\\\ \bullet\;\;z_4=-\,\sqrt{\dfrac{10}{3}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\right\}~~\Rightarrow~~z_4=z_3^{*}$


( o asterisco significa conjugado do número complexo )

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Por propriedades de números complexos, sabemos que

$\boxed{\begin{array}{c}z\cdot z^*=\left|z\right|^2 \end{array}}$

( um número complexo multiplicado pelo seu conjugado resulta no quadrado de seu módulo )

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Sendo assim, o produto dos números encontrados é

$z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdot z_4\\\\ =z_1\cdot z_1^*\cdot z_3\cdot z_3^*\\\\ =\left|z_1\right|^2\cdot\left|z_3\right|^2\\\\ =\left(\sqrt{\dfrac{7}{2}}\right)^{\!\!2}\cdot\left(\sqrt{\dfrac{7}{2}}\right)^{\!\!2}\\\\\\ =\dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{7}{2}\\\\\\ =\dfrac{49}{4}$