Question

Considere todos os números naturais menores do que 1000000.
(a) Quantos desses números, finalizados em 2, podem ser expressos
utilizando os dígitos 0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8 e 9 sem repetição? Justifique.
(b) Quantos desses números podem ser expressos supondo que só podem
ser utilizados os dígitos 0
,
5 e 9, admitindo-se repetições?
Justifique.

Answer 1

(a) 16649 números

(b) 729 números

Esta questão está relacionada com análise combinatória. Por meio da análise combinatória, é possível estudar e definir a quantidade de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer.

Veja que temos 999.999 números naturais menores que 1.000.000. No primeiro caso, vamos formar números de 1 até 6 dígitos que terminem em 2. Não podemos utilizar o algarismo 2 pois ele se repetirá, além de não poder usar o algarismo 0 mais a esquerda. Logo:

$(1)+(8\times 1)+(8\times 8\times 1)+(8\times 8\times 7\times 1)+(8\times 8\times 7\times 6\times 1)+(8\times 8\times 7\times 6\times 5\times 1) \\ \\ =\boxed{16649}$

No segundo caso, vamos ter sempre duas opções para o algarismo mais da esquerda e três opções para os outros. Logo:

$(3)+(2\times 3)+(2\times 3\times 3)+(2\times 3\times 3\times 3)+(2\times 3\times 3\times 3\times 3)+(2\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3) \\ \\ =\boxed{729}$