Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números não se iniciam com o algarismo 1.
Soluções para a tarefa
Resposta:
720
Explicação passo-a-passo:
No total, as possíveis permutações de seis algarismos são dadas por P6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720. Fixando aquelas que iniciam com o algarismo 1, basta permutar os outros algarismos. Portanto, temos P5=5!= 5*4*3*2*1 =120 números que começam com o algarismo 1.
Escrevendo esses números em ordem crescente, temos a seguinte situação: o primeiro conjunto de números são aqueles que começam com 1, e, conforme calculado no item anterior, formam 120 elementos. O segundo conjunto a ser ordenado são aqueles números que começam com o algarismo 2, e seguindo o mesmo raciocínio, também contém 120 elementos. Segue que temos 6 conjuntos numéricos começando com cada algarismo (1, 2, 3, 4, 5 e 6), cada um com 120 elementos. Queremos saber qual posição ocupa o número 512346. De imediato, sabemos que sua posição deve estar entre 481ª e 600ª, que são as posições ocupadas pelos números que começam com o algarismo 5. Agora, note que 512346 é o menor número desse conjunto. Portanto, sua posição é justamente a posição 481ª. Para saber qual número ocupa a 242ª posição, já sabemos que é um número que começa com o algarismo 3, isso porque até o 120 são os que começam com 1, do 121 até 240 são os que começam com o número 2 e da posição 241 até a posição 360 são aqueles que começam com o algarismo 3. Como queremos o número na posição 242ª, queremos o segundo menor número desse conjunto que inicia com o número 3. Temos que o menor é o número 312456. Para encontrar o segundo menor, basta permutar os dois últimos algarismos; assim, temos que o número que ocupa a posição 242ª é o 312465.