Question

Considere $\mathsf{\lfloor x\rfloor}$ como sendo a notação da função piso.

Encontre todas as soluções em $\mathbb{R}$ da equação:

$\mathsf{\dfrac{x - 2}{\lfloor x\rfloor^2 + 6\lfloor x\rfloor} = \dfrac{1}{2}}$

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A função piso denotada por $\mathsf{\lfloor x\rfloor}$, converte um número real x no maior número inteiro menor ou igual a x.

Exemplo:

$\mathsf{\lfloor 3,25\rfloor = 3}$

$\mathsf{\lfloor - 2,50\rfloor = - 3}$

Answer 1

É dada a equação:

$\dfrac{x-2}{\lfloor x\rfloor ^2+6\lfloor x\rfloor }=\dfrac{1}{2}$

Inicialmente, devemos notar que $\lfloor x\rfloor^2+6\lfloor x\rfloor\neq0$ por estar em um denominador. Então: $\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+6)\neq0\Longrightarrow \lfloor x\rfloor\neq0~~e~~\lfloor x\rfloor\neq-6$

Agora, manipulando a expressão dada:

$\dfrac{x-2}{\lfloor x\rfloor ^2+ 6\lfloor x\rfloor }=\dfrac{1}{2}\\\\ 2(x-2)=\lfloor x\rfloor ^2+6\lfloor x\rfloor\\\\ 2x-4=\lfloor x\rfloor ^2+6\lfloor x\rfloor\\\\ 2x=\lfloor x\rfloor ^2+ 6\lfloor x\rfloor+4$

Note que o lado direito da igualdade anterior corresponde a uma soma de números inteiros. Portanto, necessariamente deve resultar em um número inteiro. Assim, o lado esquerdo deve pertencer aos números inteiros também. Logo:

$2x\in\mathbb{Z}\Longrightarrow x=k~~ou~~x=k+\dfrac{1}{2},~k\in\mathbb{Z}$

Substituindo cada uma das situações na última equação obtida:

$2x=\lfloor x\rfloor ^2+6\lfloor x\rfloor+4\\\\\\ \bullet~x=k,~k\in\mathbb{Z}:\\\\ 2k=\lfloor k\rfloor ^2+6\lfloor k\rfloor+4\\\\ 2k=k^2+6k+4\\\\ k^2+4k+4=0\\\\ (k+2)^2=0\Longrightarrow k=-2\Longrightarrow \boxed{x=-2}\\\\\\ \bullet~x=k+\dfrac{1}{2},~k\in\mathbb{Z}:\\\\ 2\left(k+\dfrac{1}{2}\right)=\left\lfloor k+\dfrac{1}{2}\right\rfloor ^2+6\left\lfloor k+\dfrac{1}{2}\right\rfloor+4\\\\ 2k+1=k^2+6k+4\\\\ k^2+4k+3=0\\\\ (k+1)(k+3)=0\Longrightarrow k=-1~~ou~~k=-3$
$\Longrightarrow \boxed{x=-\dfrac{1}{2}}~~ou~~\boxed{x=-\dfrac{5}{2}}$

Nenhuma das soluções acima se encontra nas restrições obtidas inicialmente de que $\lfloor x\rfloor\neq0~~e~~\lfloor x\rfloor\neq-6$. Logo, as soluções para $x$ em $\mathbb{R}$ são:

$S=\left\{-\dfrac{5}{2},-2,-\dfrac{1}{2}\right\}$