Question

Considere sen (x) = 12/13, sen(y)=4/5, com 0
Prezados segue anexo a questão com as alternativas.

Answer 1

Vamos lá

Veja, Elitenorio, que a resolução é simples.

Pede-se o valor de sen(x-y), sabendo-se que os arcos "x, y" estão no intervalo:
 "0 < x, y < π/2 (o que significa que esses dois arcos estão no 1º quadrante, local em que tanto o seno como o cosseno são positivos) e que os valores de sen(x) e de sen(y) são estes:

sen(x) = 12/13
e
sen(y) = 4/5

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se sen(x) = 12/13, então vamos encontrar o cos(x). Para isso, utilizaremos a primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual tem-se:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se sen(x) por 12/13, teremos:
(12/13)² + cos²(x) = 1
144/169 + cos²(x) = 1
cos²(x) = 1 - 144/169 ----mmc, no 2º membro = 169. Assim, utilizando-o:
cos²(x) = (169*1-1*144)/169
cos²(x) = (169-144)/169
cos²(x) = 25/169
cos(x) = +-√(25/169) ----- veja que √(25/169) = 5/13. Logo:
cos(x) = +- 5/13 ---- mas, como vimos, no 1º quadrante o cosseno é positivo. Logo, tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

cos(x) = 5/13 <--- Este é o valor de cos(x) da sua questão.

Agora vamos encontrar o cos(y). Utilizando-se a mesma relação, teremos:

sen²(y) + cos²(y) = 1 ---- substituindo-se sen(y) por 4/5, teremos:
(4/5)² + cos²(y) = 1
16/25 + cos²(y) = 1
cos²(y) = 1 - 16/25 ----- mmc no 2º membro = 25. Logo, utilizando-o:
cos²(y) = (25*1 - 1*16)/25
cos²(y) = (25-16)/25
cos²(y) = 9/25
cos(y) = +-√(9/25) ------ como √(9/25) = 3/5, teremos:
cos(y) = +- 3/5 ---- mas como no 1º quadrante o cosseno é positivo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

cos(y) = 3/5 <---- Este é o valor de cos(y) da sua questão.

ii) Bem, como já temos todas as informações para encontrar o valor de sen(x-y), pois já temos que: sen(x) = 12/13; cos(x) = 5/13; sen(x) = 4/5; e cos(x) = 3/5, então vamos encontrá-lo.

Antes veja que: sen(a-b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a).

Logo, tendo a relação acima como parâmetro, então teremos que o valor de sen(x-y) será dado assim:

sen(x-y) = sen(x).cos(y) - sen(y).cos(x) ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

sen(x-y) = (12/13)*(3/5) - (4/5)*(5/13) ---- efetuando estes produtos, temos:
sen(x-y) = 12*3/13*5 - 4*5/5*13
sen(x-y) = 36/65 - 20/65 ---- como o denominador é comum, então fazemos:
sen(x-y) = (36-20)/65
sen(x-y) = 16/65 <--- Esta é a resposta. É a segunda opção.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.