Question

considere r e s o conjunto solucao da equacao quadratica x^2 + mx + n = 0, com os coeficientes m e n numeros reais, entao r^2 + s^2 é igual a:
A - m^2 - 2n
B - m^2 + 2n
C - m^2 - 2n^2
D - m^2 + 2n^2
E - m^2 - n^2

Answer 1

Equação quadrática: $x^2+mx+n= 0$

Raízes: $r ~e ~s$

Para resolver essa questão pode-se recorrer as Relações de Girard para equação do segundo grau. 
Através das relações, podemos retirar que:
$r+s = - \frac{b}{a} ~~~ \to ~~~ \boxed{r+s= -m} \\ \\ r \cdot s= \frac{c}{a} ~~~~~\to ~~~~~ \boxed{r \cdot s = n}$

Onde: "a" é o coeficiente de x², "b" é o coeficiente de x e "c" é o termo independente.

Agora, desenvolvendo a questão através das relações acima:
$r+s= -m \\ \\ (r+s)^2 = (-m)^2 \\ \\ r^2+2 \cdot r \cdot s + s^2= m^2$

Temos que $r \cdot s= n$, então, substituindo na equação:
$r^2+2 \cdot r \cdot s + s^2= m^2 \\ \\ r^2+2 \cdot n + s^2= m^2 \\ \\ \boxed{\boxed{r^2+s^2= m^2-2n}}$