Question

Considere que uma tela é cortada por dois eixos x e y, ortogonais entre si, formando um sistema de coordenadas com origem no centro da tela. Suponha que, nessa tela plano, existe a imagem de uma parábola cuja equação é dada por $f(x) = -x^{2} + 4x - 3$

Considere $T^{1} e T^{2}$ e dois operadores lineares definidos em $\mathbb{R}^{2}$

De acordo com as informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando os cálculos utilizados na resolução.

b) Abaixo é apresentada a transformação linear $T_{1}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$:

$T_{1} (x,y) = (cos\theta \cdot x - sen\theta \cdot y, sen\theta \cdot x + cos\theta \cdot y)$

Onde, a todo vetor no plano, a transformação linear $T_{1}$ aplica uma rotação de ângulo θ no vetor, mantendo a sua norma (comprimento).

Dado um ângulo $\theta = 150^{0}$ , determine o sentido de rotação da transformação linear $T_{1}$ e a posição das raízes e do vértice da parábola, após a aplicação da transformação linear $T_{1}$ .



c) Agora, suponha que, a cada ponto da tela, seja aplicado o operador linear : $T_{2}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$

$T_{2} (x,y) = (x+y, -2x+4y)$

Determine quais serão as coordenadas das raízes e do vértice da parábola, após a aplicação da transformação linear $T_{2}$ .

Answer 1

F (x) = -x^2 + 4x – 3

 

T1 (X,Y) = (cos θ * x – senθ*y , senθ*x + cosθ*y)

 

a)       Para θ=150º

Determine o sentido da rotação

Posição: de X,Y, Xv, Yv

 

Primeiramente, vamos encontrar as raízes da função e o Xy e Yv.

 

 -x^2 + 4x – 3 = 0

 

Δ = b^2 – 4ac

Δ = 4^2 – 4*(-1)*(-3)

Δ = 16 – 12

Δ = 4

√Δ = √4 = 2

 

x = -b +- √Δ /2*a

x = -4 +-2 / -2

x = 4+-2/2

x1 = 4+2/2

x1 = 6/2

x1 = 3

 

x2 = 4-2/2

x2 = 2/2

x2 = 1

 

Raízes da equação: 1 e 3

Pares ordenados (x,y) : (1,0) e (3,0)

 

Agora vamos calcular as coordenadas do vértice:

 

Xv = -b/2ª

Xv = -4/2*(-1)

Xv = -4/-2

Xv = 2

 

Yv = -Δ/4*a

Yv = -4/ 4 * (-1)

Yv = 1

 

Coordenadas do vértice (2,1)

Agora vamos ao operador da transformação linear T1

T1(x,y) = (cos 150*x + sen150*y ; sen150*x + cos150*y)

Observe que 180 – 150 = 30, assim:

sen 30 = 1/2
sen 150 = ½ , o sinal se conserva pois ambos os valores encontran-se positivos para y no circulo trigonométrico.

cos 30 = √3/2
cos 150 = -√3/2, o sinal é oposto pois o valor em módulo é o mesmo, entretanto o ângulo de 150ª encontra-se no quadrante negativo em relação ao eixo dos cossenos.

 

T1 (x,y) = (-√3/2*x + 1/2y ; 1/2x- √3/2y)

 

Vamos aplicar aos 3 pares ordenados que calculamos anteriormente: (1,0), (3,0), (2,1)

 

T1 (1,0) = (-√3/2*1 + ½*0 ; ½*1- √3/2*0)

T1 (1,0) = (-√3/2; ½)

 

T1 (3,0) = (-√3/2*3 + ½*0 ; ½*3- √3/2*0)

T1 (3,0) = (-3√3/2 ; 3/2)

 

T1 (2,1) = (-√3/2*2 + ½*1 ; ½*2- √3/2*1)

T1 (2,1) = (-√3 + ½ ; 1- √3/2)

T1 (2,1) = ((-2√3 +1)/2; 1- √3/2)

 

O sentido é anti-horário, já que no operador, o valor de x é negativo.

 

Agora vamos ao operador T2:

 

T2(x,y) = (x+y , -2x+4y)

 

Vamos aplicar aos 3 pares ordenados que calculamos anteriormente: (1,0), (3,0), (2,1)

 

T2 (1,0) = ( 1*1 + 1*0; -2*1 + 4*0)

T2 (1,0) = ( 1; -2)

 

T2 (3,0) = ( 1*3 + 1*0; -2*3 + 4*0)

T2 (3,0) = (3 ; -6)

 

T2 (2,1) = ( 1*2 + 1*1; -2*2 + 4*1)

T2 (2,1) = ( 2 + 1; -4+ 4)

T2 (2,1) = ( 3; 0)