Question

Considere que uma tela é cortada por dois eixos x e y, ortogonais entre si, formando um sistema de coordenadas com origem no centro da tela. Suponha que, nessa tela plano, existe a imagem de uma parábola cuja equação é dada por $f(x)= -x^2+4x-3$

Considere $T^{1} e T^{2} T1eT2$ e dois operadores lineares definidos em $\mathbb{R}^{2}R2$.

De acordo com as informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando os cálculos utilizados na resolução.

a) Mostre que o ponto (2,1) pertence à parábola.
b) Calcule os autovalores do operado linear $T_{2} (x,y) = (x+y, -2x+4y)$

c) Calcule os autovetores do operado linear $T_{2} (x,y) = (x+y, -2x+4y)$

É um trabalho de álgebra linear. Estou precisando de ajuda nessas questões pois não vejo essa matéria há muito tempo. Se possivel com a solução.

Answer 1

Bom dia!

a) Mostre que o ponto (2,1) pertence à parábola
$f(x)=-x^2+4x-3$

Vamos utilizar a função quadrática dada e aplicar o valor x = 2. Se o valor da função for f(2)=1, então o ponto dado pertence à parábola.

$f(x)=-x^2+4x-3$
$f(2)=-2^2+4\cdot{2}-3$
$f(2)=-4+8-3$
$f(2)=1$

Assim, está provado que o ponto (2,1) pertence à parábola.

b) Calcule os autovalores do seguinte operador linear:

$T_2(x,y)=(x+y,-2x+4y)$

Quando procuramos os autovalores de um operador, na verdade queremos resolver a equação a seguir:

$</span>T_2(x,y)=\lambda\cdot{(x,y)}$

para $(x,y)\neq{(0,0)}$ , onde $\lambda$ são os autovalores do operador $T_2$. Escrevendo o operador explicitamente, temos:

$(x+y,-2x+4y)=(\lambda\cdot{x},\lambda\cdot{y})$ ,

o que resulta em duas equações:

$\begin{cases}x+y=\lambda\cdot{x}\\-2x+4y=\lambda\cdot{y}\end{cases}$

Ou, ainda:

$\begin{cases}(1-\lambda)x+y=0\\-2x+(4-\lambda)y=0\end{cases}$

O sistema linear homogêneo acima possui solução não-nula se, e somente se,

$\text{det}\begin{bmatrix}(1-\lambda)&1\\-2&(4-\lambda)\end{bmatrix}=0$

Os autovalores $\lamda$ correspondem às soluções da equação acima. Resolvendo o determinante temos:

$(1-\lambda)(4-\lambda)-1\cdot(-2)=0$
$(1-\lambda)(4-\lambda)+2=0$
$\lambda^2-5\lambda+6=0$

As soluções da equação de segundo grau acima são:

$\lambda=\frac{1}{2}\left(5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot{1}\cdot{6}}\right)$
$\lambda=\frac{1}{2}\left(5\pm{1}\right)$

Portanto, os autovalores são:

$\lambda_1=\frac{1}{2}(5+1)=3$
$\lambda_2=\frac{1}{2}(5-1)=2$

c) Calcule os autovetores do seguinte operador linear:

$T_2(x,y)=(x+y,-2x+4y)$

Para encontrar os autovetores do operador, que é o mesmo do item (b), voltamos à equação de autovalores/autovetores:

$T_2(x,y)=\lambda\cdot{(x,y)}$

Agora já conhecemos os autovalores $\lambda$ . Vamos apenas substituí-los, um de cada vez, na equação acima para encontrar os autovetores.

Primeiro autovetor, para o autovalor λ = 3:

$T_2(x,y)=\lambda\cdot{(x,y)}$
$(x+y,-2x+4y)=3\cdot{(x,y)}$

Daí, tiramos duas equações:

$\begin{cases}x+y=3x\\-2x+4y=3y\end{cases}$

ou, ainda:

$\begin{cases}y=2x\\y=2x\end{cases}$

Preste atenção aqui: as duas equações são idênticas!!! Ou seja, temos duas incógnitas, mas apenas uma equação. Se você lembrar sobre a solução de sistemas de equações lineares, vai perceber logo que esse sistema admite um número infinito de soluções. Na prática, isso significa que podemos escolher livremente uma das componentes do autovetor e a outra será dada pela última equação.

Façamos, então x = 1. O sistema de equações acima nos dá, então, y = 2. Assim, o primeiro autovetor, correspondente ao autovalor λ = 3 é:

$v_1=(1,2),\,\,\,\text{para}\,\,\,\lambda=3$

Segundo autovetor, para o autovalor λ = 2:

$T_2(x,y)=\lambda\cdot{(x,y)}$
$(x+y,-2x+4y)=2\cdot{(x,y)}$

Daí, tiramos duas equações:

$\begin{cases}x+y=2x\\-2x+4y=2y\end{cases}$

Ou seja:

$\begin{cases}y=x\\y=x\end{cases}$

Novamente, temos duas equações idênticas. Vamos fazer x = 1, de modo que y = 1, de acordo com as equações acima. Assim, o segundo autovetor é:

$v_2=(1,1),\,\,\,\text{para}\,\,\,\lambda=2$ .