Question

Considere que uma praça foi construída de forma que os gramados são separados do caminho de passeio por dois ramos de uma hipérbole, conforme o esquema abaixo. Considere ainda que, de acordo com a origem do sistema de coordenadas adotado pelo arquiteto responsável pela obra, a equação dessa hipérbole seja´:
$\frac{(x - 50)^{2}}{400} - \frac{(y - 30)^{2} }{225} - 1$

a) 20
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf \dfrac{(x-50)^2}{400}-\dfrac{(y-30)^2}{225}=1$

$\sf \dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$

Temos que:

• $\sf a^2=400~\longrightarrow~a=\sqrt{400}~\longrightarrow~a=20$

• $\sf C(50,30)$ é o centro da hipérbole

As coordenadas dos vértices da hipérbole são:

$\sf A_1(30,30)~e~A_2(70,30)$, pois $\sf overline{A_1C}=\overline{A_2C}=20$

A menor largura dessa praça é a distância entre os vértices da hipérbole

$\sf \overline{A_1A_2}=\sqrt{(30-70)^2+(30-30)^2}$

$\sf \overline{A_1A_2}=\sqrt{(-40)^2+0^2}$

$\sf \overline{A_1A_2}=\sqrt{1600+0}$

$\sf \overline{A_1A_2}=\sqrt{1600}$

$\sf \overline{A_1A_2}=40~m$

Letra E