Question

Considere que um triângulo de área igual a 10 u² têm seus vértices nos pontos A(1,1) B(0,5) e C(4,k). Neste caso, o valor de k, positivo, que satisfaz essa afirmação é igual a: ​

Answer 1

Para encontrar o valor de K, positivo, que satisfaz a situação geométrica apresentada pelo enunciado, devemos utilizar o método para o cálculo da área de triângulos a partir de determinantes.

• Método utilizado

Suponha que temos um triângulo de vértices com coordenadas (XA, YA), (XB, YB) e (XC, YC).

Suponha também que temos a seguinte matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}X_A&Y_A&1\\X_B&Y_B&1\\X_C&Y_C&1\end{array}\right]$

A área do triângulo é dada pela metade do módulo do determinante desta matriz:

$A=\dfrac{|det|}{2}$

• Cálculo

Adicionando as coordenadas na matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&5&1\\4&k&1\end{array}\right]$

Pela regra de Sarrus, temos:

$det=5+4+0-(20+k+0)$

$det=9-20-k$

$det=-11-k$

Aplicando a fórmula da área:

$\dfrac{|det|}{2}=A$

$\dfrac{|det|}{2}=10$

$|-11-k|=20$

A partir daqui, temos duas possibilidades.

Primeira possibilidade:

$-11-k=20$

$-k=20+11$

$\boxed{k=-31}$

Segunda possibilidade

$-(-11-k)=20$

$11+k=20$

$k=20-11$

$\boxed{k=9}$

Como o enunciado perguntou sobre a possibilidade positiva:

$\boxed{\boxed{k=9}}$

• Resposta

O valor positivo de K é igual a 9.

(Alternativa D)

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