Question

Considere que um fazendeiro deseja delimitar um terreno em sua fazenda e destiná-lo à plantação de feijão. Esse terreno é definido como um triângulo de vértices dados
pelos pontos 4(-3,-1,4), B2,4,5) e C0,-1,1). Após a delimitação do terreno, o fazendeiro mudou de ideia e optou por dividir o terreno e plantar milho na outra metade. E
divisão do terreno será feita a partir de uma reta que sai do ponto A e termina no ponto M, entre os pontos B e C. A reta AM é definida como a mediana do triângulo ABC
Dessa forma, assinale a alternativa que corresponde à equação simétrica da reta AM.

Answer 1

A equação simétrica da reta é:

$\dfrac{x+3}{4}=\dfrac{y+1}{\frac{5}{2}}=\dfrac{z-4}{-1}$

Geometria Analítica

Para responder a essa questão vamos aplicar o conceito de ponto médio de um segmento, vetor diretor de uma reta e equação da reta.

• Ponto Médio - Dados dois pontos A e B, M será o ponto médio de AB se as coordenadas de M forem tais que:

$M=\dfrac{A+B}{2}$

• Vetor Diretor - Como o próprio nome sugere é o vetor $\vec{v}=(a,b,c)$ que apresenta a direção da reta e fornece a partir de uma ponto $P=(x_0,y_0,z_0)$ qualquer da reta a sua equação vetorial.

• Equação Vetorial da Reta

$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\vec{v}\cdot t \ , \ t\in \mathbb{R}$

• Equação Paramétrica da Reta

$\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}$

• Equação Simétrica da Reta

$\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$

Calculando o ponto médio do lado BC temos:

$M=\dfrac{B+C}{2}\\\\M=\dfrac{(2,4,5)+(0,-1,1)}{2}\\\\M=\left(1,\dfrac{3}{2}, 3\right)$

Calculando o vetor diretor AM:

$\vec{v}=\vec{AM}=M-A\\\\\vec{v}=\left(1,\dfrac{3}{2},3\right)-(-3,-1,4)\\\\\vec{v}=\left(4,\dfrac{5}{2},-1\right)$

Substituindo o ponto A e o vetor diretor na equação simétrica da reta obtemos:

$\dfrac{x+3}{4}=\dfrac{y+1}{\frac{5}{2}}=\dfrac{z-4}{-1}$

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