Matemática, perguntado por thainaratondin, 7 meses atrás

Considere que R1 seja a região delimitada por y=x2 ; y=0 e x=b, onde b>0. Considere que R2 seja a região delimitada por y=x2 ; x=0 e y=b2.
Existe algum valor de b tal que R1 e R2 tenham a mesma área?

Soluções para a tarefa

Respondido por ShinyComet

Resposta: Não, uma vez que R₁ apenas está definida para b > 0.

Resolução:

A área delimitada a cima pelo gráfico de uma função f e a baixo pelo gráfico de uma função g, no intervalo $[x_1\;;\;x_2]$ , pode ser calculada pela seguinte fórmula:

$\boxed{\boxed{\;A=\displaystyle\int\limits^{\;x_2}_{x_1} f(x)-g(x)\;dx\;}}$

Comecemos, então, por definir R₁ e R₂ através da noção de integral e com a ajuda dos anexos abaixo que mostram graficamente estas áreas (R₁ a roxo e R₂ a laranja):

$R_1=\displaystyle\int^b_0x^2-0\;dx=\displaystyle\int^b_0x^2\;dx$

Para R₂, precisamos de determinar o extremo de integração superior, uma vez que só temos o inferior.

$x^2=b^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{b^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=-\sqrt{b^2}\;\;\;\vee\;\;\;x=\sqrt{b^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=-b\;\;\;\vee\;\;\;x=b\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=b\;\;\;tomando\;apenas\;a\;\acute{a}rea\;\grave{a}\;direita$

$R_2=\displaystyle\int^b_0b^2-x^2\;dx$

Agora que temos as expressões para cada uma das regiões, basta igualá-las:

$R_1=R_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int^b_0x^2\;dx=\displaystyle\int^b_0b^2-x^2\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int^b_0x^2\;dx=\displaystyle\int^b_0b^2\;dx-\displaystyle\int^b_0x^2\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\int^b_0b^2\;dx=2\displaystyle\int^b_0x^2\;dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left|b^2x\right|^b_0=2\left|\dfrac{x^3}{3}\right|^b_0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b^2\times0+b^2\times b=2\left(\dfrac{0^3}{3}+\dfrac{b^3}{3}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b^3=\dfrac{2b^3}{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 3b^3=2b^3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 3b^3-2b^3=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b=0$

Assim, concluimos que R₁ e R₂ têm a mesma área quando b = 0 (caso em que ambas as áreas são nulas e, por isso, iguais). No entanto, R₁ só está definido para b > 0, pelo que b nunca toma o valor 0 em R₁.

Conclui-se, assim, que, apesar de serem iguais quando b = 0, as áreas de R₁ e R₂ nunca são iguais.

Podes ver mais exercícios sobre o cálculo de áreas delimitadas por gráficos de funções em: