Question

Considere que para estimar o número de habitantes que certo município terá daqui a t anos, contados a partir de hoje, é usada a lei P(t) = 150 000.(5/4)^t+k, em que k é uma constante real. Se, atualmente, tal cidade tem 120 000 habitantes,
então, em quantos anos sua população chegará a 187500 pessoas?

Answer 1

Atualmente (daqui a 0 anos), a população é 120.000

Então:
$120000=150000\cdot\left(\dfrac{5}{4}\right)^{0+k} \\ \dfrac{4}{5}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^k \\ \\ k = -1$

Sabendo disso:$187500 = 150000\left( \dfrac{5}{4}\right)^{t-1} \\ \\ \dfrac{187500}{150000}= \left( \dfrac{5}{4}\right)^{t-1} \\ \\ \dfrac{5}{4}= \left( \dfrac{5}{4}\right)^{t-1} \\ \\ \left( \dfrac{5}{4}\right)^{1}= \left( \dfrac{5}{4}\right)^{t-1} \\ \\ 1 = t - 1 \\ t = 2$
anos.