Question

Considere que os pontos A = (2, 4, 0); B = (0, 2, 4) e C = (6, 0, 2) são vértices de um triângulo.  Assinale a alternativa CORRETA que representa o valor da área do triângulo: A)   83 B)   102  C)   25 D)   32​

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirmar que $\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle ABC } = 10\: \sqrt{2} \: u.a } }$  e tendo alternativa corresponde a letra B.

A área do triângulo ABC com vértices A, B e C contidos no espaço e o número é dado por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \Vert \overrightarrow{ \sf AB} \times \overrightarrow{ \sf AC} \Vert } }$

Dadoos fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf A = ( 2, 4 , 0 ) \\\sf B = ( 0, 2 , 4 ) \\ \sf C = ( 6 , 0, 2 ) \\ \sf A_{\triangle ABC} = \: ? \end{cases} } }$

Resolução:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AB} = B- A = (0, 2, 4 ) - ( 2, 4 ,0) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AB} = B - A = -2, - 2, 4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AC} = C- A = (6, 0, 2 ) - ( 2, 4 ,0) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AC} = C - A = 4, - 4, 2 } }$

Aplicando o determinante de produto vetorial, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AB} \times \overrightarrow{ \sf AC} \: = \: \begin{array}{ |r r r |} \sf \overrightarrow{\sf i} & \sf\overrightarrow{\sf j}& \sf \overrightarrow{ \sf k} \\ \sf - 2 & \sf -2 & \sf4 \\ \sf 4 & \sf -4 & \sf 2\end{array} } }$

( Vide a figura em anexo )

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AB} \times \overrightarrow{ \sf AC} \: = \: ( 16j -4i +8k) - ( -4j -8k -16i)} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AB} \times \overrightarrow{ \sf AC} \: = \: 16j -4i +8k +4j + 8k +16i } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AB} \times \overrightarrow{ \sf AC} \: = \: -4i + 16i + 16j+4j +8k +8k} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AB} \times \overrightarrow{ \sf AC} \: = \: 12i+ 20j +16k} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \overrightarrow{\sf AB} \times \overrightarrow{ \sf AC} \: = \: \langle 12,20,16 \rangle } }$

Agora vamos determinar área do triângulo ABC.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle ABC} = \dfrac{\sqrt{(12)^2 + (20)^2 +(16)^2} }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle ABC} = \dfrac{\sqrt{ 144 + 400 +256} }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle ABC} = \dfrac{\sqrt{ 800 } }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle ABC} = \dfrac{\sqrt{400 \times 2 } }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle ABC} = \dfrac{\sqrt{400} \times \sqrt{2} }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle ABC} = \dfrac{20\times \sqrt{2} }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle ABC} = 10\:\sqrt{2}\: u.a } }$

Pela alternativa do enunciado tudo indica a correta é a letra B.

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