Question

Considere que o triângulo ABC é equilátero. Se A = (1,4), B = (3,1) e sabendo que o ponto C(e,f) está no primeiro quadrante, determine as coordenadas de C.

Answer 1

As coordenadas de C são C = (2 + 3√3/2, 5/2 - √3).

Observe que a distância entre os pontos A = (1,4) e B = (3,1) é igual a:

d² = (3 - 1)² + (1 - 4)²

d² = 2² + (-3)²

d² = 4 + 9

d² = 13

d = √13.

Então, a altura do triângulo equilátero é igual a:

h = √13.√3/2

h = √39/2.

Além disso, observe que o ponto médio do lado AB é igual a:

2M = A + B

2M = (1,4) + (3,1)

2M = (1 + 3, 4 + 1)

2M = (4,5)

M = (2,5/2).

Ou seja, a distância entre os pontos C = (e,f) e M é igual a √39/2. Logo:

39/4 = (e - 2)² + (f - 5/2)².

Perceba que os vetores AB = (2,-3) e CM = (e - 2, f - 5/2) são perpendiculares. Portanto:

2(e - 2) - 3(f - 5/2) = 0

2e - 4 - 3f + 15/2 = 0

2e - 3f = -7/2

e - 3f/2 = -7/4

e = -7/4 + 3f/2.

Substituindo o valor de e na equação 39/4 = (e - 2)² + (f - 5/2)², obtemos a equação do segundo grau 52f² - 260f + 169 = 0.

Resolvendo essa equação, encontramos f = 5/2 + √3 e 5/2 - √3.

Se f = 5/2 + √3, então o valor de e é 2 + 3√3/2;

Se f = 5/2 - √3, então o valor de e é 2 - 3√3/2.

Como o ponto C está no primeiro quadrante, então podemos concluir que C = (2 + 3√3/2, 5/2 - √3).