Question

Considere que o material usado na confecção de um certo tipo de tapete tem um custo de R$ 40,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por x reais e, assim, conseguir vender (100 – x) tapetes por mês. Nessas condições, para que, mensalmente, seja obtido um lucro máximo, cada tapete deverá ser vendido por:
a) R$ 55,00 b) R$ 60,00 c) R$ 70,00 d) R$ 75,00 e) R$ 80,00
Resolução
Admitindo que o custo do material seja o único custo que incide na confecção dos tapetes, para produzir (100 – x) tapetes o fabricante terá um custo total de R$ 40,00 * (100 – x).
Sendo vendido a x reais cada tapete, o lucro total pela venda dos (100 – x) tapetes, em reais, será L(x) = (100 – x) . x – 40 . (100 – x) ⇔ L(x) = – x^2 + 140x – 4000, com x ∈ N e tal que 40 ≤ x ≤ 100
Esse lucro é máximo para x = –140/2*(-1) = 70

Na resolução é utilizada a formula de vértice tal que Xv=-b/2a.
Minha dúvida é porque foi utilizada a formula do X do vértice para saber o valor do produto?

Answer 1

A função lucro é uma equação do segundo grau com parábola virada para baixo.

O vértice da parábola (ponto mais alto) será o ponto máximo de maior lucro.

Encontrando o X do vértice, você encontrará a quantidade de produtos necessários para produzir e vender de forma a obter esse lucro máximo.

Em anexo encontra-se o gráfico com a função lucro plotada, com identificação do vértice da parábola, que é o de lucro máximo.

Bons estudos!

Answer 2

O valor do x do vértice é o preço que os tapetes produzidos devem ser vendidos para que se obtenha o lucro máximo. O valor do lucro máximo é o valor de L(x) quando x é a abcissa do vértice.

O ponto A no gráfico é o vértice da parábola, ele é o ponto (70, 900), o que significa que o lucro máximo é 900 reais mas o valor que o tapete deve ser vendido é R$70,00.

O x do vértice é o valor do tapete a ser vendido para obter lucro máximo, já o y do vértice é o valor do lucro obtido caso o tapete seja vendido pelo preço x.

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