Question

Considere que o lucro de uma loja na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = -5x2 + 100x -80, na qual x representa o número de produtos vendidos e L(x) representa o lucro em reais. Quantos produtos precisam ser vendidos para que a loja obtenha o lucro máximo?


A- 15


B- 10


C- 13


D- 20


E- 8

Answer 1

Resposta:

b) 10

Explicação passo a passo:

Como o lucro é dada pela função quadrática $L(x)=-5x^{2} + 100x -80$, temos:

$a = -5, b=100, c=-80$

Podemos verificar que o gráfico será uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente "a" < 0, sendo que no eixo "x" teremos a quantidade de produtos e no eixo "y" o lucro.

Como queremos achar o lucro máximo, ele será obtido quando a quantidade de produtos estiver no ponto máximo da parábola, ou seja, no vértice da parábola.

Antes de calcular o vértice, precisamos calcular o delta:

$delta = b^{2}-4.a.c = 100^{2}-4.(-5).(-80)= 10000-1600=8400$

Cálculo do vértice:

$x_v = \frac{-b}{2a} =\frac{-100}{2(-5)} =\frac{-100}{-10} =10$

$y_v = \frac{-(delta)}{4a} =\frac{-8400}{4(-5)} =\frac{-8400 }{-20} =420$

Logo, para que o lucro máximo seja de R$ 420, precisamos vender 10 produtos, resposta "B".

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Podemos criar o gráfico que deixa bem claro o cálculo acima, para isso precisamos calcular as raízes, mas antes iremos calcular $\sqrt{delta}$

$\sqrt{delta} =\sqrt{8400} =20\sqrt{21}$

Calculo das raízes:

$x_1 = \frac{-b+\sqrt{delta}}{2.a} =\frac{-100+20\sqrt{21} }{2(-5)} =\frac{-100+20\sqrt{21} }{-10}=\frac{-20(5-\sqrt{21} )}{-10}=2(5-\sqrt{21})$

$x_2 = \frac{-b-\sqrt{delta}}{2.a} =\frac{-100-20\sqrt{21} }{2(-5)} =\frac{-100-20\sqrt{21} }{-10}=\frac{-20(5+\sqrt{21} )}{-10}=2(5+\sqrt{21})$

Assim o gráfico intercepta o eixo de produtos nos pontos:$\:\left(2\left(5-\sqrt{21}\right),\:0\right),\:\left(2\left(5+\sqrt{21}\right),\:0\right)$

o vértice é dado pelo ponto:

$\left(10,\:420\right)$