Question

Considere que a variável aleatória X tem f.d.p.

Calcule E(X) e Var(X).
​

Answer 1

Resposta:

E[XZ]= ∫ x * f(x) dx

E[X]= -1 até 0 ∫ x * 3x² dx

E[X]= -1 até 0 ∫  3x³ dx

E[X]= -1 até 0 [3x^4  /4]

E[X]= [3*0^4  /4 - 3*(-1)^4  /4 = -3/4

Var[X]=E[X²] - {E[X]}²

E[X²]= -1 até 0 ∫ x² * 3x² dx

E[X²]= -1 até 0 [3x^5/5]

E[X²]= [3*0^5/5 -3*(-1)^5/5 ] =3/5

Var[X] = 3/5 +(-3/4)²=3/5+9/4  = 2,85

Answer 2

  A esperança da variável aleatória X, é calculada por:

                       $\boxed{E(X) = \int\limits^\infty_{-\infty} {x.f(x)} \, dx }$

              Beleza, agora vamos realizar alguns cálculos:

     $E(X) =\\\\\\ \int\limits^\infty_{-\infty} {x.f(x)} \, dx =\\\\\\\int\limits^0_{-1} {x.3x^{2} } \, dx = \\\\\\\int\limits^0_{-1} {3x^3} \, dx = \\\\\\3.\int\limits^0_{-1} {x^3} \, dx = \\\\\\3. (\frac{x^4}{4} )^0_{-1} \\\\\\=\\\\ 3. [ 0 - \frac{1}{4} ] =\\\\ 3. [-\frac{1}{4} ] \\=\\\\\frac{-3}{4}\\\\ =\\-0,75$

Resposta:

$\boxed{E(X) = -0,75}$

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A variância de X é definida por:

      $\boxed{V(X) =\int\limits^\infty_{-\infty} {(x-u)^2.f(x).} \, dx =\int\limits^\infty_{-\infty} {x^{2} .f(x).} \, dx - u^2 =E(X^2)+u^2}$

onde a média é  $u = E(X)$  .

Beleza agora vamos calcular a variância.

                             $V(X)= \\\\\\\\=\int\limits^\infty_{-\infty} {x^2.f(x)} \, dx - u^2$

Como já calculamos u = E(X)   vamos  apenas  substituir.

                                $= \int\limits^\infty_{-\infty} {x^2. 3x^{2} } \, dx - (\frac{3}{4} )^2\\\\\\=\int\limits^\infty_{-\infty} {3x^4} \, dx -(\frac{3}{4} )^2\\\\\\=3.\int\limits^\infty_{-\infty} {x^4} \, dx - (\frac{3}{4} )^2 \\\\\\=3. \int\limits^0_{-1} {x^4} \, dx -( \frac{3}{4} )^2\\\\\\=3. (\frac{x^4}{4} )^0_{-1} -(\frac{3}{4} )^2 \\\\\\=3. [ 0 - \frac{1}{4} ] -(\frac{3}{4} )^2 \\\\\\= 3. \frac{-1}{4} -(\frac{3}{4} )^2\\\\\\=\frac{-3}{4} -(\frac{3}{4} )^2\\\\\\=0,0375$

Espero ter ajudado!!!