Question

Considere que a sequência (x-2, x² - 39, 2x +1 ) seja uma PA, o quarto termo será:

A) 20 ou –11,25

B) 15 ou 10

C) 20 ou 11,25

D) 15 ou –10

Answer 1

Olá.

Para essa questão, vamos usar muito o conceito de razão de PA:

- a razão de uma PA pode ser definida como a diferença entre um termo e seu antecessor.

 

Assim, sendo, podemos formar uma igualdade com os termos. Primeiro, vamos defini-los, separando-os:

 

a₁ = x - 2

a₂ = x² - 39

a₃ = 2x + 1

 

É possível montar e desenvolver uma igualdade, usando o conceito de razão supracitado. Teremos:

 

a₃ – a₂ = a₂ – a₁

 

Substituindo e desenvolvendo, teremos:

 

2x + 1 - (x² - 39) = x² - 39 - (x - 2)

2x + 1 - x² + 39 = x² - 39 - x + 2

- x² + 2x + 40 = x² – x - 37

0 = x² + x² - x – 2x – 37 – 40

0 = 2x² - 3x – 77

 

Como chegamos em uma equação de 2° grau, devemos tratar como tal, onde as duas raízes possíveis serão válidas para os valores de x. Usarei o método de Bháskara, onde uso os coeficientes descobertos pela forma ax² + bx + c = 0. Vamos aos cálculos.

 

a = 2;

b = -3;

c = -77

 

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4(2)(-77)}}{2(2)}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4(-154)}}{4}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+616}}{4}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{625}}{4}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{3\pm25}{4}}$

 

As raízes dessa equação são:

 

$\mathsf{x_1=\dfrac{3+25}{4}=\dfrac{28}{4}=28}\\\\\\\mathsf{x_2=\dfrac{3-25}{4}=\dfrac{-22}{4}=-5,5}$

 

O 4° termo pode ser escrito como a soma do 3° termo com a razão, que já demonstrei acima. Para facilitar, desenvolverei uma expressão “rápida” para encontrar o 4° termo apenas substituindo o valor de x.

 

r + a₃ =

(x² - 39 - x + 2) + (2x + 1) =

x² - 39 - x + 2 + 2x + 1 =

x² - x + 2x - 39 + 2 + 1 =

x² + x - 36

 

Substituindo o valor de x na expressão, pelos valores das raízes, vamos aos cálculos.

$\mathsf{x_1^2+x_1-36=7^2+7-36=49-29=\boxed{\mathsf{20}}}\\\\\mathsf{x_2^2+x_2-36=(-5,5)^2+(-5,5)-36=30,25-41,5=\boxed{\mathsf{-11,25}}}$

 

Com isso, podemos concluir que a resposta correta está na alternativa A.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$