Question

Considere que a moeda 1 resulta em cara, quando lançada, com probabilidade 0,4; a moeda 2 tem probabilidade 0,7 de dar cara. Uma dessas moedas é escolhida aleatoriamente, com mesma probabilidade para cada moeda, e jogada 10 vezes. Qual é a probabilidade de que a moeda dê cara em exatamente 6 das 10 jogadas?

A) 15,58%.
B) 18,75%.
C) 21,28%.
D) 24,73%.

Answer 1

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⠀⠀☞ Sabendo que existem 210 diferentes combinações para 6 caras e 4 coroas e conhecendo a probabilidade conjunta desta configuração temos que a probabilidade procurada é de 15,58%, o que nos leva à opção a). ✅  

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⠀⠀Inicialmente vamos nos atentar a esta descrição:

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• ⠀⠀"Uma dessas moedas é escolhida aleatoriamente ... e jogada 10 vezes."

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⠀⠀Temos portanto que calcular duas situações:

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⠀⠀A) A primeira moeda (0,4 para cara) é escolhida;

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⠀⠀B) A segunda moeda (0,7 para cara) é escolhida.

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⠀⠀Lembremos que:

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• ⠀⠀O Princípio Fundamental da Contagem nos diz que se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número total de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada etapa. O mesmo se aplica para a probabilidade total de uma combinação de probabilidades particulares: a probabilidade total será determinada pelo produto entre as probabilidades de cada etapa.

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⠀⠀Sendo cara representada pela letra X e coroa representada pela letra Y teremos que a configuração que desejamos para os 10 lançamentos é a seguinte:

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⠀⠀X⠀X⠀X⠀X⠀X⠀X⠀Y⠀Y⠀Y⠀Y

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⠀⠀Desta forma devemos multiplicar as probabilidades de cada um dos eventos:

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⠀⠀A) Para a primeira moeda:

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$\LARGE\blue{\sf P_a = 0,4^6 \cdot 0,6^4}$

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$\LARGE\blue{\sf P_a = 0,004096 \cdot 0,1296}$

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$\LARGE\blue{\sf P_a = 0,000531}$

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⠀⠀B) Para a segunda moeda:

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$\LARGE\blue{\sf P_b = 0,7^6 \cdot 0,3^4}$

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$\LARGE\blue{\sf P_b = 0,117649 \cdot 0,0081}$

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$\LARGE\blue{\sf P_b = 0,000953}$

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⠀⠀Sabendo que cada uma destas moedas tem 50% de chances de ser escolhida então nossa probabilidade para esta união de probabilidades será de:

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$\LARGE\blue{\sf P_{aUb} = 0,5 \cdot P_a + 0,5 \cdot P_b}$

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$\large\blue{\sf P_{aUb} = 0,000266 + 0,000476}$

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$\LARGE\blue{\sf P_{aUb} = 0,000742}$

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⠀⠀✋ Observe porém que esta é somente UMA das configurações possíveis que desejamos. Outros resultados também são desejáveis, como por exemplo YXXXXXYYYX ou XYXYXYXYXX.  

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• ⠀⠀"- Mas como encontraremos todos estes resultados?"

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⠀⠀Através das permutações entre as etapas. Uma permutação é uma "danças das casas", ou seja, a troca entre o resultado de uma etapa com o resultado de outra. O número total de permutações neste caso é de 10! (lembrando que 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1).

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⠀⠀✋ Mas espere um pouco: dentre estas 10! permutações acabamos incluindo combinações repetidas! Por exemplo, no resultado XXXXXXYYYY se trocarmos a etapa 1 com a 2 resultaremos na mesma combinação!  

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• ⠀⠀"- Como excluir estas permutações repetidas então? "  

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⠀⠀As combinações repetidas ocorrem quando etapas de mesmo resultado permutam entre si, ou seja, basta dividirmos nosso total de permutações (10!) pelas permutações entre X (6!) e pelas permutações entre Y (4!) para excluirmos estas repetições:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{10!}{6! \cdot 4!}}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times \diagup\!\!\!\!{6}!}{\diagup\!\!\!\!{6}! \cdot 4!} }}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}}$

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$\LARGE\blue{\sf = \dfrac{5.040}{24}}$

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$\LARGE\blue{\sf = 210}$

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⠀⠀Sabemos, por fim, que a probabilidade total para esta configuração será de:  

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$\LARGE\blue{\sf P_t = 210 \cdot 0,000742}$

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$\LARGE\blue{\sf P_t = 0,15582}$

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$\LARGE\blue{\sf P_t = 15,582~\%}$  

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{A)}~\blue{ 15,58\% }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$  

⠀⠀☀️ Leia mais sobre combinações e probabilidades:  

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/38359395

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$  

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$