Question

Considere que a equipe de especialistas de uma revista automotiva esteja fazendo um teste de aceleração em um moderno automóvel para medir o seu desempenho. Esse teste consiste em acelerar uniformemente o veículo, em linha reta, em uma pista plana, a partir do repouso, até que ele atinja a velocidade de 108 km/h.

Qual foi a potência total média desenvolvida por um automóvel de 1,5 t, em um teste de aceleração de 5 s?

Considere que o rendimento desse automóvel seja de 20%.

Answer 1

A potência total média desenvolvida pelo automóvel é de 27 000 W.

Teoria

A potência é uma grandeza física escalar medida em Watts, em homenagem ao matemático e engenheiro britânico James Watt. Pode ser definida como o consumo de energia por segundo de algum equipamento ou aparelho eletrônico, convencionalmente medido em Joule por segundo.

Cálculo

Em termos matemáticos, a energia cinética é proporcional ao produto da massa pelo quadrado da velocidade em razão de 2, tal como a equação I abaixo:  

$\boxed {\textsf{E} = \dfrac{\textsf{m} \cdot \textsf{v}^\textsf{2}}{\textsf{2}}} \; \textsf{(I)}$  

Onde:  

E = energia cinética (em J);  

m = massa (em kg);  

v = velocidade (em m/s).

Além disso, uma das definições de potência total média é dada pela variação da energia cinética em razão do tempo, deste modo estabelece-se a equação II:

$\boxed {\textsf{P} = \dfrac{\Delta \textsf{K}}{\Delta \textsf{t}}} \; \textsf{(II)}$

Onde:

ΔP = potência total média (em W);

ΔK = variação da energia cinética (em J);

Δt = intervalo de tempo (em s).

Portanto, substituindo a equação I na equação II, a potência total média pode ser dada pela equação III abaixo:

$\boxed {\textsf{P} = \dfrac{\dfrac{\textsf{m} \cdot \textsf{v}_\textsf{F}^\textsf{2}}{\textsf{2}} - \dfrac{\textsf{m} \cdot \textsf{v}_\textsf{0}^\textsf{2}}{\textsf{2}}}{\Delta \textsf{t}}} \; \textsf{(III)}$

Onde:

ΔP = potência total média (em W);

m = massa do corpo (em kg);

vf = velocidade final do corpo (em m/s);

v0 = velocidade inicial do corpo (em m/s);

Δt = intervalo de tempo (em s).

Ademais, o rendimento pode ser dado como a razão entre a potência utilizável e a potência total, tal como a equação IV abaixo:

$\boxed {\mathscr{n} = \dfrac{\textsf{P}_\textsf{U}}{\textsf{P}_\textsf{T}}} \; \textsf{(IV)}$

Onde:

n = rendimento (em %);

PU = potência útil (em W);

PT = potência total (em W).

Aplicação

Sabe-se, segundo o enunciado:

$\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf P = \textsf{? W} \\\sf m = \textsf{1,5 t} = \textsf{1500 kg} \\ \sf v_f = \textsf{108 km/h} = \textsf{30 m/s} \\\sf v_0 = \textsf{0 m/s} \\\sf \Delta t = \textsf{5 s} \\ \end{cases}$

Substituindo na equação III:

$\textsf{P} = \dfrac{\dfrac{\textsf{1500} \cdot \textsf{30}^\textsf{2}}{\textsf{2}} - \dfrac{\textsf{1500} \cdot \textsf{0}^\textsf{2}}{\textsf{2}}}{\textsf{5}}$

Multiplicando:

$\textsf{P} = \dfrac{\dfrac{\textsf{1500} \cdot \textsf{900}}{\textsf{2}} - \dfrac{\textsf{1500} \cdot \textsf{0}}{\textsf{2}}}{\textsf{5}}$

Multiplicando:

$\textsf{P} = \dfrac{\dfrac{\textsf{1350000}}{\textsf{2}} - \dfrac{\textsf{0}}{\textsf{2}}}{\textsf{5}}$

Subtraindo:

$\textsf{P} = \dfrac{\dfrac{\textsf{1350000}}{\textsf{2}}}{\textsf{5}}$

Simplificando:

$\textsf{P} = \dfrac{\textsf{1350000}}{\textsf{10}}$

Dividindo:

$\boxed {\textsf{P} = \textsf{135 000 W}}$

Sabe-se, então, de acordo com o cálculo anterior e o enunciado:

$\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \mathscr{n} = \textsf{20 \%} = \textsf{0,2} \\ \sf P_U = \textsf{? W} \\ \sf P_T = \textsf{135 000 W} \\ \end{cases}$

Substituindo na equação IV:

$\textsf{0,2} = \dfrac{\textsf{P}_\textsf{U}}{\textsf{135 000}}$

Isolando Pu:

$\textsf{P}_\textsf{U} = \textsf{135 000} \cdot \textsf{0,2}$

Multiplicando:

$\boxed {\textsf{P}_\textsf{U} = \textsf{27 000 W}}$

Espero que a resposta seja satisfatória e correta, bons estudos!

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