Question

Considere que A(-2, 1, 3) pertença ao plano π e que a reta $r: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} =-z$
seja perpendicular a este plano . Neste caso, assinale a alternativa que contém a equação do plano π .


a) π :2x + 3y - z +6 = 0


b) π :2x + 3y - z -2 = 0


c) π :2x + 3y - z +4 = 0


d) π : x + 3y - z +4 = 0


e) π :2x + 6y - z +4 = 0

Answer 1

Temos as equações simétricas de uma reta que é perpendicular ao plano $\pi:$

$r:~\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{3}=-z\\\\\\ r:~~\dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z-0}{-1}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Comparando a equação $\mathbf{(i)}$ com as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto $(x_0,\,y_0,\,z_0),$ cujo vetor diretor é o vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(a,\,b,\,c).$

$r:~\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$


Tiramos que um vetor diretor de $r$ é $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,\,3,\,-1).$

(observe que a reta só tem equações simétricas se nenhuma das componentes do vetor diretor for nulo, ou seja, se $a\cdot b\cdot c\ne 0$)
__________

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(a,\,b,\,c)$ é um vetor normal ao plano $\pi.$

___________

• Seja $A(x_0,\,y_0,\,z_0)$ um ponto conhecido que pertence ao plano $\pi.$

Os pontos $X(x,\,y,\,z)$ do plano $\pi$ devem satisfazer a seguinte equação:

(todo vetor do plano é ortogonal ao vetor normal)

$\pi:~\overrightarrow{AX}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0\\\\ \pi:~(x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0)\cdot (a,\,b,\,c)=0\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\pi:~a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \end{array}}$


Para esta questão, o ponto conhecido do plano é $A(-2,\,1,\,3),$ e um vetor normal ao plano $\pi$ é $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,\,3,\,-1).$

Então, obtemos uma equação para o plano $\pi:$

$\pi:~2(x-(-2))+3(y-1)+(-1)(z-3)=0\\\\ \pi:~2(x+2)+3(y-1)-(z-3)=0\\\\ \pi:~~2x+4+3y-3-z+3=0\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\pi:~2x+3y-z+4=0 \end{array}}$


Resposta: alternativa $\text{c) }\pi:~2x+3y-z+4=0.$


Bons estudos! :-)