Considere placas de automóvel formadas por três letras seguidas de quatro algarismos? Como o exemplo abaixo: AAD 3356 a) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A,B,C,D e com o algarismos 1,2,3,4 e 5 ? b) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A,B,C,D e com os algarismos 1,2,3,4 e 5, sem repetir letra nem algarismos ? c) Quantas placas diferentes podem ser formadas com pelo menos um algarismo não-nulo disposdo-se das 26 letras do alfabeto e dos 10 algarismos do sistema decimal ?( incluíndo y,w,k)
Soluções para a tarefa
-> Perceba que nessa alternativa as opções podem se repetir. Porque a placa AAA 1111 é diferente de AAA 1112 ou ainda BBB 1111 , então pelo Princípio Fundamental da Contagem :
Letras Algarismos
_ . _ . _ / _ . _ . _ . _
4 . 4 . 4 . 5 . 5 . 5 . 5 = 40000 placas diferentes
b)
-> Como nessa alternativa ele explicitou que não poderia haver repetição de letras e nem algarismos. Então perceba que ABA 1234 não poderia acontecer , mas ABC 1234 é uma possibilidade , logo pelo Princípio Fundamental da Contagem :
Letras Algarismos
_ . _ . _ / _ . _ . _ . _
4 . 3 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2 = 2880 placas com algarismo e letra diferentes
c)
-> Primeiro vou calcular o total de placas possíveis com as 26 letras e 10 algarismos
Letras Algarismos
_ . _ . _ / _ . _ . _ . _
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 26³ . 10⁴
-> Agora para calcular o total de placas com pelo menos um algarismo não nulo vou optar por calcular o total de possibilidade com o evento complementar pedido ( que é o total de placas que tem todos os algarismos nulo ) , por exemplo :
Letras Algarismos -> Estas são todas as placas com
_ . _ . _ / _ . _ . _ . _ algarismos nulo que poderiam
? ? ? 0 0 0 0 ocorrer.
-> Como estabelecido na letra a) placas com repetições de letras ainda são diferentes ( AAB 0000 ≠ ABA 0000 ≠ BAA 0000 ). Como eu quero o total de placas com o algarismos 0 , então a parte dos algarismos teria somente 1 possibilidade ( que é com o algarismo 0 ) :
Letras Algarismos
_ . _ . _ / _ . _ . _ . _
26 . 26 . 26 . 1 . 1 . 1 . 1 = 26³
-> Agora para calcular o total de eventos que eu quero ( placas com pelo menos um algarismo não-nulo ) , eu vou subtrair o evento complementar do total de possibilidades, então :
N = 26³.10⁴ - 26³
N = 26³.( 10⁴ - 1 ) placas
Podem ser formadas 40000 placas; Podem ser formadas 2880 placas sem repetição; Existem 175742424 placas com pelo menos um algarismo não-nulo.
a) Vamos considerar que os três primeiros traços são as letras e os quatro últimos traços são os algarismos das placas: _ _ _ - _ _ _ _.
Como queremos placas com as letras A, B, C e D e com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, temos que:
Para o primeiro traço, existem 4 opções;
Para o segundo traço, existem 4 opções;
Para o terceiro traço, existem 4 opções;
Para o quarto traço, existem 5 opções;
Para o quinto traço, existem 5 opções;
Para o sexto traço, existem 5 opções;
Para o sétimo traço, existem 5 opções.
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 4.4.4.5.5.5.5 = 40000 placas.
b) Agora, não podemos repetir as letras nem os algarismos.
Então:
Para o primeiro traço, existem 4 opções;
Para o segundo traço, existem 3 opções;
Para o terceiro traço, existem 2 opções;
Para o quarto traço, existem 5 opções;
Para o quinto traço, existem 4 opções;
Para o sexto traço, existem 3 opções;
Para o sétimo traço, existem 2 opções.
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 4.3.2.5.4.3.2 = 2880 placas.
c) Ao todo, temos um total de: 26.26.26.10.10.10.10 = 175760000 placas.
Entretanto, em 1 placa, existe a sequência de algarismos 0000.
Portanto, o total de placas é igual a:
175760000 - 26.26.26 =
175760000 - 17576 =
175742424.
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