Question

considere p(x) =
$x {}^{4} + 3x {}^{2} - 3x - 1$

a) calcule p(-2)
b) verifique se 1 é raiz de p(x)
c) determine o termo independente
d) qual é a soma dos coeficiente

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vini, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: considere o polinômio p(x) abaixo:

p(x) = x⁴ + 3x² - 3x - 1

ii) Agora vamos responder às perguntas formuladas:

ii.a) Calcule p(-2) ------  para isso vamos no polinômio p(x) e substituiremos "x" por "-2". Assim, teremos que:

p(-2) = (-2)⁴ + 3*(-2)² - 3*(-2) - 1 ------ desenvolvendo temos:

p(-2) = 16 + 3*4 + 6 - 1

p(-2) = 16 + 12 + 6 - 1 ---- efetuando esta soma algébrica, temos:

p(-2) = 33 <--- Esta é a resposta para o item "a".

ii.b) Verifique se "1" é raiz de p(x) ---- Veja: toda raiz zera a função da qual ela é raiz. Então se quando substituirmos o "x" por "1" obtermos que p(1) é igual a zero, então é porque "1" é raiz, sim. Vamos ver:

p(1) = 1⁴ + 3*1³ - 3*1 - 1 ----- desenvolvendo, teremos:

p(1) = 1 + 3*1 - 3 - 1 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

p(1) = 1 + 3 - 3 - 1 ----- efetuando esta soma algébrica, temos que:

p(1) = 0 <---- Então "1" é uma das raízes de p(x), pois p(1) deu igual a zero. Então esta é a resposta para o item "b".

ii.c) Determine o termo independente.

Veja que o termo independente de qualquer função é aquele termo que não tem qualquer incógnita. E vendo o polinômio p(x) vemos que o termo indepente é o "-1". Assim:

O termo independente é "-1" <--- Esta é a resposta para o item "c".

ii.d) Qual é a soma dos coeficientes.

Veja que esta está bem fácil. Como já temos a representação do polinômio P(x), então é só somar os seus coeficientes. Temos que:

P(x) = x⁴ + 3x² - 3x - 1 ------ assim, somando apenas os coeficientes temos (note que o coeficiente de x⁴ é "1"; o coeficiente de x² é "3"; o coeficiente de "x" é "-3" e o coeficiente do termo independente é "-1"):

1 + 3 - 3 - 1 = 0 <--- Esta é a resposta para o item "d". Ou seja, a soma dos coeficientes é igual a "0".

Observação importante para quando se pedir a soma dos coeficientes de um binômio elevado a alguma potência sem que esse binômio esteja desenvolvido. Vamos dar alguns exemplos:

(x + y)⁵ ----- para saber qual é a soma dos coeficientes, então basta você substituir as incógnitas por "1".  Então, fazendo isso, teremos:

(1 + 1)⁵ = (2)⁵ = 32 <--- Neste caso a soma dos coeficientes é "32"

Outro exemplo:

(x-2)⁸ ----- substituindo a incógnita por "1", teremos:

(1-2)⁸ = (-1)⁸ = 1 <--- Neste caso a soma dos coeficientes é "1".

Outro exemplo:

(x-y)⁸⁸ ---- substituindo-se as incógnitas por "1", teremos:

(1-1)⁸⁸ = (0)⁸⁸ = 0 <--- Neste caso a soma dos coeficientes é "0".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.