Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 1 ano atrás

Considere p(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e um polinômio com, a, b, c, d, e E R. Sabendo que:
I. p(x) é múltiplo de x²-4.
II. a soma das raízes de p(x) é 1.
III. o produto das raízes de p(x) é 3.
IV. p(-1)=-15/4.

Determine p(1).

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo

Resposta: $P(1)=\cfrac{9}{4}$ .

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, considere a seguinte função polinomial complexa univariada $z:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}$ , cuja lei de formação é $z(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ , sendo $a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3}$ complexos quaisquer (arbitrários) e $a_{4}$ um complexo não nulo $\left(a_{i}\ \in\ \mathbb{C},\ \forall\ i\ \in\ \{0,1,2,3\}\ \land\ a_{4}\ \in\ \mathbb{C^{*}}\right)$ . Note que sua lei de formação é um polinômio univariado (de uma única variável) de grau $gr\left(z(x)\right)$ igual a quatro $\left(gr(z(x))=4\right)$ . É sabido que a soma $S'$ das raízes da equação polinomial correspondente $z(x)=0$ é $S'=(-1)^{1} \cdot \cfrac{a_{3}}{a_{4}}=-\cfrac{a_{3}}{a_{4}}$ e o produto $P'$ é $P'=(-1)^{4} \cdot\cfrac{a_{0}}{a_{4}}=\cfrac{a_{0}}{a_{4}}$ . Retornando ao exercício, sabe-se que o polinômio $P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ $\left(b,\ c,\ d,\ e\ \in\ \mathbb{R}\ \land\ a\ \in\ \mathbb{R^{*}}\right)$ , de grau $gr\left(P(x)\right)=4$ , é múltiplo de $D(x)=x^{2}-4$ . Logo:

$P(x)=D(x) \cdot Q(x)+R(x)\ \ \ \land\ \ \ R(x)=0\ \ \ \Rightarrow$

$P(x)=\left(x^{2}-4\right)Q(x)\ \ \ \Leftrightarrow$

$P(x)=\left(x^{2}-2^{2}\right)Q(x)\ \ \ \Leftrightarrow$

$P(x)=(x+2)(x-2)Q(x)\ \ \ \ \ \ (i)$

Onde $Q(x)$ é um polinômio quadrático $\left(Q(x)=a'x^{2}+b'x+c';\ b',\ c'\ \in\ \mathbb{R}\ \land\ a'\ \in\ \mathbb{R^{*}}\right)$ . Fazendo $(x-2)Q(x)=Q'(x)$ em $(i)$ , obtém-se:

$P(x)=(x+2) \cdot Q'(x)+0$

Com isso verifica-se que $P(x)$ é divisível por $q'(x)=x+2$ . De modo análogo, ao fazer $(x+2)Q(x)=Q''(x)$ em $(i)$ , chegaremos à conclusão que $P(x)$ também é divisível por $q''(x)=x-2$ . Pelo Teorema de D'Alembert, temos $P(2)=P(-2)=0$ . Portanto:

$P(2)=P(-2)\ \ \ \Leftrightarrow$

$16a+8b+4c+2d+e=16a-8b+4c-2d+e\ \ \ \Leftrightarrow$

$d=-4b$

A soma $S$ das raízes de $P(x)$ é $S=(-1)^{1} \cdot \cfrac{b}{a}=-\cfrac{b}{a}=1$ . Sendo assim:

$-\cfrac{b}{a}=1\ \ \ \land\ \ \ a\ \in\ \mathbb{R^{*}}\ \ \ \Rightarrow$

$a=-b$

E o produto $P$ das raízes de $P(x)$ é $P=(-1)^{4} \cdot \cfrac{e}{a}=\cfrac{e}{a}=3$ . Logo:

$\cfrac{e}{a}=3\ \ \ \land\ \ \ a \in\ \mathbb{R^{*}}\ \ \ \Rightarrow$

$e=3a\ \ \ \land\ \ \ a=-b\ \ \ \Rightarrow$

$e=-3b$

Para encontrar $c=\cfrac{19b}{4}$ , joga-se os valores acima (em função de $b$ ) na equação $P(2)=0$ . Substituindo os mesmos valores encontrados anteriormente (todos em função de $b$ ) no lugar de cada coeficiente $a,\ b,\ c,\ d,\ e$ do polinômio $P(x)$ , e usando $P(-1)=-\cfrac{15}{4}$ , obteremos:

$P(-1)=(-b)(-1)^{4}+b(-1)^{3}+\cfrac{19b}{4}(-1)^{2}+(-4b)(-1)+(-3b)\ \ \ \Leftrightarrow$

$P(-1)=-b-b+\cfrac{19b}{4}+4b-3b\ \ \ \Leftrightarrow$

$P(-1)=\cfrac{15b}{4}\ \ \ \land\ \ \ P(-1)=-\cfrac{15}{4}\ \ \ \Rightarrow$

$b=-1$

Portanto, os coeficientes $a,\ b,\ c,\ d,\ e$ valem, respectivamente, $1,\ -1,\ -\cfrac{19}{4},\ 4,\ 3$ . Por fim, o polinômio $P(x)$ é $P(x)=x^{4}-x^{3}-\cfrac{19}{4}\ x^{2}+4x+3$ . Também sabemos que $P(1)$ é simplesmente a soma $S''=a+b+c+d+e$ de seus coeficientes. Sendo assim, $P(1)$ é dado por: