Matemática, perguntado por cleidevirgilio, 1 ano atrás

Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e equidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular a r é :

Soluções para a tarefa

Respondido por adjemir
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Vamos lá.

Veja, Cleide, que é simples.

Tem-se: considere um ponto P(x; y), pertencente à reta "r" de equação 3x + 5y - 10 = 0 e equidistante dos eixos coordenados.
Determine a equação da reta "s" que passa pelo ponto P(x; y) e é perpendicular à reta "r".

Bem, vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos tomar a equação da reta "r", que é: 3x + 5y - 10 = 0 e, a partir dela, vamos ver em que pontos o gráfico dessa reta corta o eixo dos "x" e o eixo dos "y".
Bem, para isso, faremos:

i.a) O gráfico da reta "r" cortará o eixo dos "x" quando "y" for igual a zero. Assim, fazendo "y" igual a zero, teremos:

3x + 5*0 - 10 = 0
3x - 10 = 0
3x = 10
x = 10/3 <--- Este será o valor de "x" quando "y" for igual a zero. Ou seja, o gráfico da reta "r" corta o eixo "x" no ponto A(10/3; 0)

i.b) O gráfico da reta "r" cortará o eixo dos "y" quando "x" for igual a zero. Assim, fazendo x = 0, teremos:

3*0 + 5y - 10 = 0
0 + 5y - 10 = 0
5y - 10 = 0
5y = 10
y = 10/5
y = 2 <--- Este será o valor de "y" quando "x" for zero. Ou seja, o gráfico da reta "r" corta o eixo dos "y" no ponto B(0; 2)

i.c) Dessa forma, o ponto P(x; y) da reta "r", como é equidistante dos eixos coordenados, então o ponto P será o ponto médio do segmento AB, com:
A(10/3; 0) e B(0; 2). Assim, o ponto P(x; y), como é o ponto médio, então teremos que:

x = (10/3 + 0)/2
x = (10/3)/2
x = 10/3*2
x = 10/6 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
x = 5/3 <--- Esta será a abscissa "x" do ponto médio P(x; y).
e
y = (0+2)/2
y = (2)/2
y = 2/2
y = 1 <---- Esta será a ordenada "y" do ponto médio P(x; y)

Assim, o ponto P(x; y) será este: P(5/3; 1).

ii) Bem, agora que já sabemos qual é o ponto P e queremos a equação da reta que passa por P(5/3; 1) e é perpendicular à reta "r", então vamos encontrar qual é o coeficiente angular da reta "r".
Para isso, deveremos isolar "y". A equação da reta "r" é esta:

3x + 5y - 10 = 0 ------ vamos isolar "y". Para isso, fazemos:
5y = - 3x + 10
y = (-3x + 10)/5 ---- ou, dividindo-se cada fator por "5", teremos:
y = - 3x/5 + 10/5
y = - 3x/5 + 2 <---- Veja: o coeficiente angular da reta "r" é "-3/5". É o coeficiente de "x" após havermos isolado "y".
 
iii) Agora veja isto: quando duas retas são perpendiculares, o produto entre os seus coeficientes angulares é igual a "-1".
Nesse caso, vamos multiplicar o coeficiente angular da reta "r" (mr = - 3/5") pelo coeficiente angular da reta "s" (ms) e vamos igualar a "-1".
Assim, teremos:

ms*mr = - 1 ----- substituindo "mr" por "-3/5", teremos:
ms*(-3/5) = - 1
ms = - 1/(-3/5) ----- como na divisão, menos com menos dá mais, então ficaremos com:

ms = 1/(3/5) ----- ou, o que é a mesma coisa:
ms = 5/3 <--- Este deverá ser o coeficiente angular da reta "s", que é perpendicular à reta "r".

iv) Finalmente, agora vamos encontrar qual é a equação da reta "s". Para isso, basta que utilizemos a fórmula de quando já se conhece o coeficiente angular de uma reta (ms = 5/3) e um ponto por onde ela passa P(5/3; 1).
A fórmula de que ora tratamos é esta:

y - yo = m*(x - xo) ------ fazendo as devidas substituições, teremos:

y - 1 = (5/3)*(x - 5/3) ------ efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:

y - 1 = 5x/3 - 5*5/3*3
y - 1 = 5x/3 - 25/9 ----- mmc, no 2º membro = 9. Assim, utilizando-o, teremos:

y - 1 = (3*5x - 1*25)/9
y - 1 = (15x - 25)/9 ------- multiplicando em cruz, teremos:
9*(y-1) = 15x - 25 ------ efetuando o produto indicado no 1º membro, teremos:
 
9y - 9 = 15x - 25 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:

0 = 15x - 25 - 9y + 9 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos:

0 = 15x - 9y - 16 ---- ou, invertendo-se, teremos:
 
15x - 9y - 16 = 0 <--- Esta é a resposta. Esta é a equação da reta "s", que é perpendicular à reta "r" e que passa no ponto P(5/3; 1).

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

adjemir: Disponha e sucesso nos seus estudos.
cleidevirgilio: Obrigada novamente
fernandoocara15: Caraea...
adjemir: Disponha, Fernando.
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