Question

Considere os vetores V = (1,0,3) e W = (0,−1,2).
Encontre um vetor T no espa¸co que seja simultaneamente ortogonal a V e W e que tenha norma
3.

Answer 1

Seja $T = (x,\,y,\,z)$. Usando que esse vetor é ortogonal a V e W simultaneamente:

$\bullet~T\cdot V= 0\\\\ (x,\,y,\,z)\cdot(1,0,3)=0\\\\ x+3z=0\Longrightarrow \boxed{x=-3z}$

$\bullet~T\cdot W= 0\\\\ (x,\,y,\,z)\cdot(0,-1,2)=0\\\\ -y+2z=0\Longrightarrow \boxed{y=2z}$

Então, T é da forma $T=(-3z,\,2z,\,z)$. Como sua norma é 3:

$||T||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\\ 3 = \sqrt{(-3z)^2+(2z)^2+z^2}\\\\ 3 = \sqrt{9z^2+4z^2+z^2}\\\\ 3 = \sqrt{14z^2}\\\\ 3=\sqrt{14}|z|\Longrightarrow |z|=\dfrac{3}{\sqrt{14}}\\\\ \boxed{z=\pm\dfrac{3}{\sqrt{14}}}$

Logo, as possibilidades para T são:

$\boxed{\boxed{T_1=\left(-\dfrac{9}{\sqrt{14}},\,\dfrac{6}{\sqrt{14}},\,\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)}}\\\\\\ \boxed{\boxed{T_2=\left(\dfrac{9}{\sqrt{14}},\,-\dfrac{6}{\sqrt{14}},\,-\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)}}$