Matemática, perguntado por isabelly3049, 8 meses atrás

Considere os vetores −→u = (2, −1, 1) e −→v = (3, −3, 1). A área do paralelogramo
definido pelos vetores 2→u e →v −→u , em unidades de área, é?

a)2√14
b) 3√6
c)4√2
d) 5√3
e)6√2

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
1

Temos os seguinte vetores:

 \sf \vec{u} =   \:  \sf  < 2, - 1,1 >  \:  \:  \:  \sf  \vec{v}  =  \:  < 3, - 3 ,1>

A questão nos fala que a área de um paralelogramo qualquer é definida por 2u e v - u, ou seja, para encontrar os dados necessários temos que fazer algumas operações. Primeiro vamos relembrar essa "propriedade" de vetores:

Multiplicação de um número por um vetor:

 \boxed{ \sf a.  <  b ,c  >   \:  = \:  < a.b \: , \: a.c> }

Como temos que multiplicar o número 2 pelo vetor u, vamos seguir essa propriedade acima:

 \sf 2.   < 2 , - 1,1  >   \: =   \:   < 2.(2) ,2.  ( - 1),2.(1) >  \:  =  \:  < 4, - 2,2 >  \\  \\  \boxed{ \boxed{ \sf 2 \vec{u}  = \:   < 4, - 2,2 > }} \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Agora vamos lembrar de outra propriedade que usaremos mais pra frente. Subtração de vetores:

  \sf  Sendo  \: \vec{u}  = \:  < u_i , u_j ,u _k >  \:  \: e \:  \:  \vec{v} =  \:  < v_i,v_j,v_k > \\   \\  \boxed{\sf \vec{u} -  \vec{v} =   \: < (u_i - v_i) ,(u_j  - v_j) , (u_k - v_k )> }

Aplicando a propriedade no cálculo de v - u:

 \sf  \vec{u} =   \: < 2, −1, 1 > \:  \:  e  \:  \:  \vec{v} =   \: < 3, −3, 1 >  \:  \:  \:  \:  \: \:  \:  \:  \:  \:   \\  \\  \sf  \vec{v }-  \vec{u} =   \:  < (3 - 2),( - 3 - ( - 1)),(1 - 1) >  \\  \\  \boxed{ \sf \vec{v }-  \vec{u}  =  \:  < 1, - 2,0 > }

Tendo feito o cálculo dos dados que usaremos, agora podemos ir de fato em busca da área do paralelogramo, onde primeiro vamos calcular o determinante desses dois dados que obtivemos:

 \sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} -  \vec{u})  = \begin{bmatrix} \sf \vec{i}& \sf \vec{j}& \sf \vec{k} \\  \sf 4& \sf - 2& \sf2 \\  \sf 1& \sf - 2& \sf0\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}\sf \sf \vec{i}& \sf \vec{j} \\  \sf 4& \sf - 2 \\  \sf 1& \sf - 2\end{bmatrix} \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\\sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} -  \vec{u})  =   \sf \vec{i}.( - 2).0 +  \vec{j}.2.1 +  \vec{k}.4. ( - 2) -( 1.( -2) . \vec{k}  +   ( - 2).2. \vec{i} + 0.4. \vec{j}) \\  \\\sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} -  \vec{u})  =  \sf  0  + 2 \vec{j} - 8 \vec{k} - ( -  2 \vec{k} - 4 \vec{i} + 0)   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\ \sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} -  \vec{u})  =  \sf 2 \vec{j} - 8 \vec{k} + 2 \vec{k} + 4 \vec{i}  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf 2 \vec{u} \: . \: ( \vec{v} -  \vec{u})  =  \boxed{\sf 4 \vec{i} + 2 \vec{j} - 6 \vec{k}} \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Para finalizar, basta calcular a norma desses vetor resultante, ou seja, calcular o módulo:

\sf 2 \vec{u}  \: . \: ( \vec{v} -  \vec{u})  =\sf \underbrace{ 4}_{a} \vec{i} +  \underbrace { 2}_{b}\vec{j} -  \underbrace{6 }_{c} \vec{k}\\  \\   \sf| |2 \vec{u} \:  . \: ( \vec{v} -  \vec{u})| |  =  \sqrt{a {}^{2}  + b {}^{2} + c {}^{2}  }  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf  \sf| |2 \vec{u} \:  . \: ( \vec{v} -  \vec{u})| | =  \sqrt{4 {}^{2}  + 2 {}^{2}  + ( - 6) {}^{2} }  \\  \\  \sf  \sf| |2 \vec{u} \:  . \: ( \vec{v} -  \vec{u})| | =  \sqrt{16 + 4 + 36}  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\   \\  \sf  \sf| |2 \vec{u} \:  . \: ( \vec{v} -  \vec{u})| | =  \sqrt{56}  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf| |2 \vec{u} \:  . \: ( \vec{v} -  \vec{u})| | =  \sqrt{4.14}  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:   \\  \\ \boxed{ \boxed{  \sf| |2 \vec{u} \:  . \: ( \vec{v} -  \vec{u})| | = 2 \sqrt{14} \:  u.a}} \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Espero ter ajudado


NathyNathys2: Cadê a imagem?
Nefertitii: acho que os comandos bugaram
Nefertitii: pelo aplicativo está de boas
Nefertitii: tente ver pelo aplicativo
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