Question

Considere os vetores u = (1, n) e v = (0, 1). Calcule os valores para n para que o
angulo entre os vetores u e v seja 30◦

Answer 1

Temos os seguintes vetores:

$u=(1,n) \: \: e \: \: v=(0,1)$

A questão quer saber quais valores de "n" fazem com que o ângulo entre esses dois vetores seja. 30°. Para realizar esse cálculo, vamos usar a seguinte fórmula:

$\boxed{ \cos( \alpha ) = \frac{u \: \cdot \: v}{ | |u| | . | |v| | } }$

Primeiro vamos calcular o produto escalar entre esses dois vetores:

$u=(1,n) \: \: e \: \: v=(0,1) \\ \\ u \cdot v = (1,n) \cdot(0,1) \\ u \cdot v = 1.0 + n.1 \\ u \cdot v = n$

Agora vamos calcular a norma de cada um deles, ou seja, o módulo de cada um:

$| |u| | = \sqrt{1 {}^{2} + n {}^{2} } \\ | |u| | = \sqrt{1 + n {}^{2} } \\ \\ | |v| | = \sqrt{0 {}^{2} + 1 {}^{2} } \\ | |v| | = \sqrt{1} \\ | |v| | = 1$

Substituindo os dados:

$\cos ( \alpha ) = \frac{n}{ (\sqrt{1 + n {}^{2} } ).(1)}$

A questão fala sobre o ângulo de 30°, então o alpha será 30°, então:

$\cos(30 {}^{o} ) = \frac{n}{ \sqrt{1 + n {}^{2} } } \\ \\ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{n }{ \sqrt{1 + n {}^{2} }} \\ \\ 2n = \sqrt{3} . \sqrt{1 + n {}^{2} } \\ \\ 2n = \sqrt{3.(1 + n {}^{2} )} \\ \\ 2n = \sqrt{3 + 3n {}^{2} }$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$4n {}^{2} = ( \sqrt{3 + 3n {}^{2} } ) {}^{2} \\ \\ 4n { }^{2} = 3 + 3n {}^{2} \\ \\ 4n {}^{2} - 3n {}^{2} = 3 \\ \\ n {}^{2} = 3 \\ \\ \boxed{n = \sqrt{3} }$

Espero ter ajudado