Question

Considere os vetores u = (-1,3,2,1), v = (1,1,2,0) , w = (-3,1,-2,1).
a) A= (u,v,w), é um conjunto linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). Justifique a resposta usando a teoria adequada.

Answer 1

Lembrando a definição geral de Dependência linear:

Dois ou mais vetores são LD se, e somente se, um deles é combinação linear dos demais. 

Dois ou mais vetores serão LI se nenhum deles for combinação linear dos demais. 

Um caso específico é o caso de 3 vetores, eles serão LD se, e somente se, forem coplanares, ou seja, um sempre será combinação linear dos outros dois. 

Então vamos verificar isso. Se nenhum deles for combinação linear dos outros dois, então eles são LI, agora basta que um deles seja combinação linear dos outros dois para que os 3 sejam LD:

Vamos fazer:

u = αv + βw

Então, se alfa e beta existirem, então u é uma combinação linear de v e w e os 3 vetores são LD; se não existires alfa e beta, pra esse caso eles são Li, mas é preciso verificar os outros dous casos (v = αu + βw e w = αv + βu)

u = αv + βw

(-1,3,2,1) = α(1,1,2,0) + β(-3,1,-2,1)
(-1,3,2,1) = (α,α,2α,0) + (-3β,β,-2β,β)
(-1,3,2,1) = (α-3β,α+β,2α-2β,β)

Igualando cada componente correspondente, teremos um sistema:

α-3β = -1
α+β = 3
2α-2β = 2
β = 1

De cara β = 1

Então vamos verificar se alfa tem o mesmo valor nas outras 3 equações:

α-3β = -1
α-3.1 = -1
α-3 = -1
α = -1 + 3
α = 2

α+β = 3
α+1 = 3
α = 3 - 1
α = 2

2α-2β = 2 (dividindo tudo por 2)
α-β = 1
α-1 = 1
α = 1+1
α = 2

Logo 

α = 2 e β = 1

então, 

u = αv + βw
u = 2v + 1w
u = 2v + w

Logo, u é uma combinação de v e w, e A = (u, v, w) é LD