Question

Considere os vetores $V_{1} =(1, \ 2, \ -1), \ V_{2}= (6, \ 4, \ 2) \ e \ V_{3} =(4, \ -1, \ 8)$ e calcule x, y, z ∈ R tais que $x V_{1}+ yV_{1}+zV_{3}=C_{1}, \ \ xV_{1}+yV_{2}+zV_{3}=C_{2}, \ \ xV_{1}+yV_{2}+zV_{3}=C_{3}$ onde $C_{1} =(1, \ 0, \ 0), \ C_{2}=(0, \ 1, \ 0), \ C_{3}=(0, \ 0, \ 1)$

Answer 1

O valores de x, y e z que satisfazem a condição são

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} X = \overbrace{\left[\begin{array}{c | c |c}-\frac{17}{12} & \frac{5}{3} & \frac{11}{12}\\ \\\frac{5}{8} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{8}\\ \\-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]}^{C_1 \qquad C_2 \qquad C_3}\end{gathered} }$

O problema nos pede quais os coeficientes que quando multiplicados pelo vetor da base, dão a base canônica, dessa forma, teremos que montar 3 equações, a primeira é

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}xV_1 + yV_2 + zV_3 = C_1 \\ \\\left(x, 2x, -x\right) + \left(6y, 4y, 2y\right) + \left(4z, -z, 8z\right) = \left(1,0,0\right)\end{gathered}$

Com isso temos o seguinte sistema

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}x + 6y + 4z = 1\\2x + 4y - z = 0\\-x + 2y + 8z = 0\end{cases}\end{gathered}$

Escrevendo na notação matricial temos

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\begin{array}{c c c}1 & 6 & 4\\2 & 4 & -1\\-1 & 2 & 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\0\end{array}\right]\end{gathered}$

Aqui podemos ver que para C1, C2 e C3 a única coisa que muda é a saída, que seria o B do nosso AX = B, sendo assim, podemos inverter essa matriz que teríamos o resultado para quaisquer saídas B desejada, basta multiplicar pela matriz inversa dos coeficientes, ou senão pode resolver os 3 sistemas 3x3, um para cada C.

Dito isso utilize o método que achar melhor para inverter a matriz acima, por questões de limite de caracteres terei que pular essa parte, porém recomendo o método dos cofatores

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}A^{-1} = \frac{1}{\det\left(A\right)}C^{T}\end{gathered}$

Onde C^T é a matriz transposta dos cofatores, também chamada de matriz adjunta, deixarei em anexo uma fórmula pronta da matriz adjunta de uma matriz 3x3.

O resultado esperado da matriz inversa é

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} A^{-1} = \left[\begin{array}{c c c}-\frac{17}{12} & \frac{5}{3} & \frac{11}{12}\\ \\\frac{5}{8} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{8}\\ \\-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]\end{gathered}$

Sendo assim, temos que

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}X = A^{-1}B\end{gathered}$

Para descobrir x, y e z de acordo com a saída B, podemos só multiplicar a inversa de A por B.

Como no nosso caso os B são (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), isso é o mesmo que olhar para a primeira coluna, segunda coluna última coluna. Onde a linha 1 representa o valor de x, a linha 2 o valor de y e a linha 3 o valor de z, ou seja, a resolução do seguinte sistema

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\begin{array}{c c c}1 & 6 & 4\\2 & 4 & -1\\-1 & 2 & 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\0\end{array}\right]\end{gathered}$

Basta olhar a primeira coluna da matriz inversa

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}X = \left[\begin{array}{c}-\frac{17}{12}\\ \\\frac{5}{8} \\ \\-\frac{1}{3}\end{array}\right]\end{gathered}$

E análogo para os demais

Espero ter ajudado

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