Question

Considere os vetores no espa¸co V = (1,0,3), W = (0,−1,2) e U. Sabendo que U ´e paralelo ao vetor (2,1,2) e que o volume do paralelep´ıpedo gerado por V , W e U ´e 6 u.v., encontre U (2 possibilidades). 

Answer 1

Como U é paralelo ao vetor (2, 1, 2), temos que:

$U = t\cdot(2,1,2)~~~~(t\in\mathbb{R})\\\\ \boxed{U = (2t,\,t,\,2t)}$

O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores V, W e U é dado pelo módulo do produto misto (ou produto triplo) deles. Assim:

$\boxed{V_{olume}= |U\cdot (V\times W)|}$

Vamos calcular separadamente o produto vetorial entre V e W:

$V\times W = \left|\begin{matrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&0&3\\0&-1&2 \end{matrix}\right| \\\\\\ V\!\times\!W\!=\! [2\cdot0\cdot\vec i\!+\!3\cdot0\cdot\vec j+1\cdot(-1)\cdot\vec k]-[0\cdot 0\cdot \vec k+1\cdot2\cdot\vec j+(-1)\cdot3\cdot\vec i]\\\\ V\times W=-\vec k-2\vec j+3\vec i=3\vec i-2\vec j-\vec k\\\\ \boxed{V\times W = (3,\,-2,\,-1)}$

Usando o que foi obtido na expressão do volume:

$V_{olume}= |U\cdot (V\times W)|\\\\ 6 = |(2t,\,t,\,2t)\cdot(3,\,-2,\,-1)|\\\\ 6 = |2t\cdot3+t\cdot(-2)+2t\cdot(-1)|\\\\ 6 = |6t-2t-2t|=|2t|\\\\ 6 =2|t|\Longrightarrow |t| = 3\Longrightarrow \boxed{t=\pm3}$

Portanto, as possibilidades de U são:

$\boxed{\boxed{U_1=\left(6,\,3,\,6\right)}}\text{ e }\boxed{\boxed{U_2=\left(-6,\,-3,\,-6\right)}}$

Isto é, (6, 3, 6) e (-6, -3, -6).