Question

Considere os três postos A(-1,2), B(3,5) e C(2,1). Determine:
(a) a área do triângulo de vértice nesses pontos;
(b) a medida da mediana relativa ao vértice B;
(c) a equação da reta suporte da mediana;

Answer 1

A área do triângulo é 6,5; A medida da mediana relativa ao vértice B é √74/2; A equação da reta suporte da mediana é y = 7x/5 + 4/5.

a) Para encontrar a área do triângulo, vamos definir os vetores AB e AC:

AB = (4,3)

AC = (3,-1).

Calculando o determinante $\left[\begin{array}{ccc}4&3\\3&-1\end{array}\right]$, obtemos:

d = 4.(-1) - 3.3

d = -4 - 9

d = -13.

Portanto, a área do triângulo ABC é igual a:

S = |-13|/2

S = 13/2

S = 6,5.

b) A mediana passa pelo ponto médio do lado oposto a um determinado vértice.

Como queremos a medida da mediana relativa ao vértice B, então vamos calcular o ponto médio M do segmento AC:

2M = A + C

2M = (-1,2) + (2,1)

2M = (-1 + 2, 2 + 1)

2M = (1,3)

M = (1/2,3/2).

Portanto, a medida da mediana é igual a:

d² = (1/2 - 3)² + (3/2 - 5)²

d² = (-5/2)² + (-7/2)²

d² = 25/4 + 49/4

d² = 74/4

d = √74/2.

c) A reta suporte passará pelos pontos B e M. Sabendo que a equação da reta é da forma y = ax + b, temos que:

{3a + b = 5

{a/2 + b = 3/2

De 3a + b = 5, temos que b = -3a + 5. Logo,

a/2 - 3a + 5 = 3/2

a - 6a + 10 = 3

-5a = -7

a = 7/5

e

b = -21/5 + 5

b = 4/5.

A equação da reta é y = 7x/5 + 4/5.